به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
ارسال شده ۲۶ مرداد ۱۳۹۹ در مطالب ریاضی توسط saderi7 (7,245 امتیاز) 134 بازدید

سری زیر را در نظر بگیرید :

$$\bbox[5px, border:1px solid #4682B4]{\lim_{n}s_n=\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!}=1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+...}$$

ثابت میکنیم که دنباله $\big(s_n\big)_{n\in\mathbb{N}}$ همگرا است .


مشاهده کنید که برای هر $n\geq 2\in\mathbb{N}$ داریم :

$$\big(\dfrac{1}{n!}\big)=\big(\dfrac{1}{2}\big)\big(\dfrac{1}{3}\big)...\big(\dfrac{1}{n}\big) \leq \underbrace{\big(\dfrac{1}{2}\big)\big(\dfrac{1}{2}\big)...\big(\dfrac{1}{2}\big)}_{\large{(n-1) \text{times}}}=\dfrac{1}{2^{n-1}}$$

در نتیجه :

$$0< \dfrac{1}{n!}\leq \dfrac{2}{2^{n}}:=q_n \ \ \ \ ; \ \ \ n \in \mathbb{N}$$

سری $\sum_{n=1}^\infty q_n$ یک سری هندسی است و همگرا است .

$$2< \lim_{n}s_n \leq 1+1+\frac{1}{2}+\dotsb+\frac{1}{2^{n-1}}\leq 1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n-1}}=3$$

بنابراین دنباله $\big( s_n\big)_{ n \in \mathbb{N}}$ همگرا است .$ \Box $


ثابت کردیم که دنباله $ \big( s_n\big)_{ n \in \mathbb{N}}$ همگرا است .

یعنی حاصل حد دنباله $ \big( s_n\big)_{ n \in \mathbb{N}}$ یک عدد یکتاست .

ثابت میکنیم که این عدد یکتا برابر است با عدد اویلر یعنی :

$$\bbox[5px, border:1px solid #4682B4]{\color{teal}{e}= \lim_{n}s_n =\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!}=1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+...}$$


دو دنباله زیر را در نظر بگیرید :

$$\bbox[5px, border:1px solid teal]{e_n=\big(1+\dfrac{1}{n}\big)^n \ \ , \ \ s_n=1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+...+\dfrac{1}{n!}\ \ \forall \ n\in \mathbb{N}}$$

ثابت میکنیم که :

$$\bbox[15px, border:1px solid teal]{e_n < s_n \ \ \ \ \ : \forall \ n\in \mathbb{N}}\tag{1}$$

و همچنین ثابت میکنیم :

$$\bbox[5px, border:1px solid teal]{s_k \leq \lim_{n}\big(1+\dfrac{1}{n}\big)^n :=e\ \ \ \ \ : \forall \ k\in \mathbb{N}}\tag{2} $$

از رابطه $(1)$ نتیجه میگیریم که :

$$e:=\lim_{n}\big(1+\dfrac{1}{n}\big)^n=\lim_{n}e_n \leq \lim_{n}s_n $$

وهمچنین از رابطه $(2)$ نتیجه میگیریم که :

$$ \lim_{k}s_n \leq \lim_{n}\big(1+\dfrac{1}{n}\big)^n :=e$$

بنابراین :

$$\bbox[5px, border:1px solid teal]{\color{teal}{e}= \lim_{n}s_n =\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!}=1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+...}$$

اثبات رابطه $(1)$

با استفاده از بسط دو جمله‌ ای داریم :

$$\begin{align}e_n=\big(1+\dfrac{1}{n}\big)^n\\=&1+\binom{n}{1}\dfrac{1}{n}+ \binom{n}{2}\dfrac{1}{n^2}+...+\binom{n}{n}\dfrac{1}{n^n}\\=& 1+\dfrac{n}{1!}\dfrac{1}{n}+ \dfrac{n(n-1)}{2!}\dfrac{1}{n^2}+...+\dfrac{n(n-1)\cdot \cdot \cdot 1}{n!}\dfrac{1}{n^n}\\=& 1+\dfrac{n}{n}\dfrac{1}{1!}+\underbrace{ \dfrac{n(n-1)}{n^2}}_{\large{< 1}}\dfrac{1}{2!}+...+\underbrace{\dfrac{n(n-1)\cdot \cdot \cdot 1}{n^n}}_{\large{< 1}}\dfrac{1}{n!}\\ < & 1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+...+\dfrac{1}{n!}:=s_n \end{align}$$ $ \Box .$

اثبات رابطه $(2)$

فرض کنید $ k $ یک عدد ثابت است به طوری که $n\geq k, k\in\mathbb{N} $

با استفاده از بسط دو جمله‌ ای داریم :

$$\begin{align}e_n=\big(1+\dfrac{1}{n}\big)^n\\=&1+\binom{n}{1}\dfrac{1}{n}+ \binom{n}{2}\dfrac{1}{n^2}+...+\binom{n}{n}\dfrac{1}{n^n}\\=& 1+\dfrac{n}{1!}\dfrac{1}{n}+\dfrac{n(n-1)}{2!}\dfrac{1}{n^2}+...+\dfrac{n(n-1)\cdot \cdot \cdot 1}{n!}\dfrac{1}{n^n}\\\color{teal}{>}& 1+\dfrac{n}{1!}\dfrac{1}{n}+ \dfrac{n(n-1)}{2!}\dfrac{1}{n^2}+...+\dfrac{n(n-1)(n-k+1)}{k!}\dfrac{1}{n^k}\\=& 1+\dfrac{1}{1!}+ \dfrac{n-1}{n}\dfrac{1}{2!}+...+\dfrac{n-1}{n}\cdot \cdot \cdot\dfrac{n-k+1}{n}\dfrac{1}{k!}\\=& 1+\dfrac{1}{1!}+ \big(1-\dfrac{1}{n}\big)\dfrac{1}{2!}+...+\big(1-\dfrac{1}{n}\big)\cdot \cdot \cdot\big(1-\dfrac{k-1}{n}\big)\dfrac{1}{k!} \end{align}$$

حال اگر $n$ به بینهایت میل کند در حالی که $k$ ثابت است خواهیم داشت :

$$\begin{align}e=\lim_{n}e_n\\ \geq& 1+\dfrac{1}{1!}+ \lim_{n}\big(1-\dfrac{1}{n}\big)\dfrac{1}{2!}+..+\lim_{n}\big(1-\dfrac{1}{n}\big) \cdot \cdot\big(1-\dfrac{k-1}{n}\big)\dfrac{1}{k!}\\=&s_k\end{align}$$ $ \Box .$

عدد اویلر یا عدد نپر قسمت اول


صادق صادری مهران


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...