سری زیر را در نظر بگیرید :
$$\bbox[5px, border:1px solid #4682B4]{\lim_{n}s_n=\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!}=1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+...}$$
ثابت میکنیم که دنباله $\big(s_n\big)_{n\in\mathbb{N}}$ همگرا است .
مشاهده کنید که برای هر $n\geq 2\in\mathbb{N}$ داریم :
$$\big(\dfrac{1}{n!}\big)=\big(\dfrac{1}{2}\big)\big(\dfrac{1}{3}\big)...\big(\dfrac{1}{n}\big) \leq \underbrace{\big(\dfrac{1}{2}\big)\big(\dfrac{1}{2}\big)...\big(\dfrac{1}{2}\big)}_{\large{(n-1) \text{times}}}=\dfrac{1}{2^{n-1}}$$
در نتیجه :
$$0< \dfrac{1}{n!}\leq \dfrac{2}{2^{n}}:=q_n \ \ \ \ ; \ \ \ n \in \mathbb{N}$$
سری $\sum_{n=1}^\infty q_n$ یک سری هندسی است و همگرا است .
$$2< \lim_{n}s_n \leq 1+1+\frac{1}{2}+\dotsb+\frac{1}{2^{n-1}}\leq 1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n-1}}=3$$
بنابراین دنباله $\big( s_n\big)_{ n \in \mathbb{N}}$ همگرا است .$ \Box $
ثابت کردیم که دنباله $ \big( s_n\big)_{ n \in \mathbb{N}}$ همگرا است .
یعنی حاصل حد دنباله $ \big( s_n\big)_{ n \in \mathbb{N}}$ یک عدد یکتاست .
ثابت میکنیم که این عدد یکتا برابر است با عدد اویلر یعنی :
$$\bbox[5px, border:1px solid #4682B4]{\color{teal}{e}= \lim_{n}s_n =\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!}=1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+...}$$
دو دنباله زیر را در نظر بگیرید :
$$\bbox[5px, border:1px solid teal]{e_n=\big(1+\dfrac{1}{n}\big)^n \ \ , \ \ s_n=1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+...+\dfrac{1}{n!}\ \ \forall \ n\in \mathbb{N}}$$
ثابت میکنیم که :
$$\bbox[15px, border:1px solid teal]{e_n < s_n \ \ \ \ \ : \forall \ n\in \mathbb{N}}\tag{1}$$
و همچنین ثابت میکنیم :
$$\bbox[5px, border:1px solid teal]{s_k \leq \lim_{n}\big(1+\dfrac{1}{n}\big)^n :=e\ \ \ \ \ : \forall \ k\in \mathbb{N}}\tag{2} $$
از رابطه $(1)$ نتیجه میگیریم که :
$$e:=\lim_{n}\big(1+\dfrac{1}{n}\big)^n=\lim_{n}e_n \leq \lim_{n}s_n $$
وهمچنین از رابطه $(2)$ نتیجه میگیریم که :
$$ \lim_{k}s_n \leq \lim_{n}\big(1+\dfrac{1}{n}\big)^n :=e$$
بنابراین :
$$\bbox[5px, border:1px solid teal]{\color{teal}{e}= \lim_{n}s_n =\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!}=1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+...}$$
اثبات رابطه $(1)$
با استفاده از بسط دو جمله ای داریم :
$$\begin{align}e_n=\big(1+\dfrac{1}{n}\big)^n\\=&1+\binom{n}{1}\dfrac{1}{n}+ \binom{n}{2}\dfrac{1}{n^2}+...+\binom{n}{n}\dfrac{1}{n^n}\\=&
1+\dfrac{n}{1!}\dfrac{1}{n}+ \dfrac{n(n-1)}{2!}\dfrac{1}{n^2}+...+\dfrac{n(n-1)\cdot \cdot \cdot 1}{n!}\dfrac{1}{n^n}\\=&
1+\dfrac{n}{n}\dfrac{1}{1!}+\underbrace{ \dfrac{n(n-1)}{n^2}}_{\large{< 1}}\dfrac{1}{2!}+...+\underbrace{\dfrac{n(n-1)\cdot \cdot \cdot 1}{n^n}}_{\large{< 1}}\dfrac{1}{n!}\\ < & 1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+...+\dfrac{1}{n!}:=s_n
\end{align}$$
$ \Box .$
اثبات رابطه $(2)$
فرض کنید $ k $ یک عدد ثابت است به طوری که $n\geq k, k\in\mathbb{N} $
با استفاده از بسط دو جمله ای داریم :
$$\begin{align}e_n=\big(1+\dfrac{1}{n}\big)^n\\=&1+\binom{n}{1}\dfrac{1}{n}+ \binom{n}{2}\dfrac{1}{n^2}+...+\binom{n}{n}\dfrac{1}{n^n}\\=&
1+\dfrac{n}{1!}\dfrac{1}{n}+\dfrac{n(n-1)}{2!}\dfrac{1}{n^2}+...+\dfrac{n(n-1)\cdot \cdot \cdot 1}{n!}\dfrac{1}{n^n}\\\color{teal}{>}&
1+\dfrac{n}{1!}\dfrac{1}{n}+ \dfrac{n(n-1)}{2!}\dfrac{1}{n^2}+...+\dfrac{n(n-1)(n-k+1)}{k!}\dfrac{1}{n^k}\\=&
1+\dfrac{1}{1!}+ \dfrac{n-1}{n}\dfrac{1}{2!}+...+\dfrac{n-1}{n}\cdot \cdot \cdot\dfrac{n-k+1}{n}\dfrac{1}{k!}\\=&
1+\dfrac{1}{1!}+ \big(1-\dfrac{1}{n}\big)\dfrac{1}{2!}+...+\big(1-\dfrac{1}{n}\big)\cdot \cdot \cdot\big(1-\dfrac{k-1}{n}\big)\dfrac{1}{k!}
\end{align}$$
حال اگر $n$ به بینهایت میل کند در حالی که $k$ ثابت است خواهیم داشت :
$$\begin{align}e=\lim_{n}e_n\\ \geq& 1+\dfrac{1}{1!}+ \lim_{n}\big(1-\dfrac{1}{n}\big)\dfrac{1}{2!}+..+\lim_{n}\big(1-\dfrac{1}{n}\big) \cdot \cdot\big(1-\dfrac{k-1}{n}\big)\dfrac{1}{k!}\\=&s_k\end{align}$$
$ \Box .$
صادق صادری مهران
