اثبات فرمول کاردانو برای حل معادلهٔ درجۀ سه

Question

به نام خدا

معادلهٔ درجهٔ سهٔ زیر را در نظر بگیرید:

$$x^3+px+q=0$$

که $p$ و $q$ ضرایب معادله و اعداد حقیقی‌ای می‌باشند.

طبق فرمول کاردانو، یکی از ریشه‌های این معادله به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

$$x= \sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{ \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} } }+\sqrt[3]{- \frac{q}{2} - \sqrt{ \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} } } $$

شاید از خود بپرسید که اصلاً این فرمول چگونه به‌دست آمده‌است؟ در این مطلب می‌خواهم به پاسخ این پرسش بپردازم.

ابتدا فرض می‌کنیم مقدار $x$ برابر است با جمع دو متغیر به نام‌های $u$ و $v$؛ بنابراین:

$$x^3+px+q=0,x=u+v$$

سپس $u+v$ را به توان 3 رسانده و حاصل را می‌نویسیم:

$$(u+v)^3=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3$$

حاصل این عبارت را به شکل زیر نیز می‌توان بازنویسی کرد:

$$(u+v)^3=3uv(u+v)+(u^3+v^3)$$

سپس تمام جملات این برابری را به سمت چپ منتقل می‌کنیم:

$$(u+v)^3-3uv(u+v)-(u^3+v^3)=0$$

از این برابری می‌توان نتایج زیر را گرفت:

$$-3uv=p \Rightarrow (uv=- \frac{p}{3} )^3 \Rightarrow u^3v^3= -\frac{p^3}{27} $$

$$-(u^3+v^3)=q \Rightarrow (u^3+v^3=-q)\cdot v^3 \Rightarrow u^3v^3+(v^3)^2=-qv^3$$

با ترکیب دو برابری آخر می‌توان به برابری زیر رسید:

$$(v^3)^2+qv^3- \frac{p^3}{27} =0$$

می‌توان این برابری را به‌صورت یک معادلهٔ درجهٔ دو در نظر گرفت و آن را حل کرد، با حل کردن این برابری برحسب $v^3$، مقدار $v^3$ به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

$$v^3=- \frac{q}{2} \pm \sqrt{ \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} } \Rightarrow v= \sqrt[3]{- \frac{q}{2} \pm \sqrt{ \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} } } $$

اگر مقدار $u$ را هم به‌دست آوریم، می‌توانیم مقدار $x$ را هم به‌دست آوریم و کار به اتمام می‌رسد.

مقدار $u$ دقیقاً برابر با مقدار $v$ به‌دست می‌آید؛ پس بنابراین:

$$u,v=\sqrt[3]{- \frac{q}{2} \pm \sqrt{ \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} } } \Rightarrow u= \sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{ \frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4} } } ,v= \sqrt[3]{- \frac{q}{2} - \sqrt{ \frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4} } } \Rightarrow x=u+v=\sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{ \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} } }+\sqrt[3]{- \frac{q}{2} - \sqrt{ \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} } } $$

البته در آخر ناگفته نمانَد که گفته می‌شود که این فرمول را در اصل ریاضی‌دانی به نام تارتاگلیا به‌دست آورده ولی ریاضی‌دان دیگری به نام کاردانو مطلب وی را دزدیده است!