به نام خدا
در حالت کلی تعداد ارقام یک عدد طبیعی مثل $a$ برابر است با:
$$\large{\color{black}{\left \lfloor {{\mathrm{log}}_{10}}^{(a)} \right \rfloor +1,a \in \mathbb{N}}}$$
و یا اگر $m^p$ عددی تواندار باشد، تعداد ارقام آن برابر است با:
$$\large{\color{black}{\left \lfloor {{p \cdot \mathrm{log}}_{10}}^{(m)} \right \rfloor +1,(m,p \in \mathbb{N})}}$$
با استفاده از این روش میتوانید تعداد ارقام یک عدد تواندار بزرگ را (مثلاً $ 16478465^{3355632} $) بهصورت دقیق محاسبه کنید!
مثال: تعداد ارقام عدد تواندار $896^{189536964}$ را بهصورت دقیق محاسبه کنید.
میبینید که این عدد بیاندازه بزرگاست و حاصل آن تعداد ارقام زیادی هم دارد.
برای محاسبهٔ تعداد ارقام آن بهصورت دقیق، باید اعداد $896$ و $189536964$ را بهترتیب بجای $m$ و $p$ در فرمول $\left \lfloor {{p \cdot \mathrm{log}}_{10}}^{(m)} \right \rfloor +1$ قرار دهید:
$$\left \lfloor {{189536964 \cdot \mathrm{log}}_{10}}^{(896)} \right \rfloor +1$$
که برابر میشود با: $559571497$. پس این عدد، $559571497$ رقم دارد.
همچنین اثبات این موضوع را هم میتوانید در این لینک از همین سایت ببینید.
