به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
ارسال شده مهر ۱۴, ۱۳۹۹ در مطالب ریاضی توسط Elyas1 (1,866 امتیاز)
ویرایش شده آذر ۱۲, ۱۳۹۹ توسط Elyas1
534 بازدید

اثبات قضیه ویت به شرح زیر است:

می دانیم:

$a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} +...+ a_{0}=$$a_{n} (x-x_{1})(x- x_{2})...(x- x_{n})$

$ x_{1} , x_{2} ,..., x_{n} $در آن ریشه های چند جمله ای هستند.

اگر چند جمله ای سمت راست را باز کنیم ( برای باز کردن آن از جمله مشترک باید استفاده کرد. برای این کار می دانیم که ضریب

$ x^{n-k} $

در سمت راست برابر است با مجموع تمام حاصل ضرب k تایی جملات نامشترک. در جمله اول $x^n$ است و در جمله بعدی به صورت $x^{n-1}$ و تا به جمله آخر که به شکل $x^{n-n}$.) سپس با چند جمله ای اول متحد کنیم نتایج زیر به دست می آید.(دو چند جمله ای با هم برابرند (متحدند) اگر و تنها اگر درجه ی آن دو مساوی و ضرایب جملات متشابه (با توان مساوی) برابر باشند.) این بدین معناست که ما به عنوان مثال ضریب $x^n$ را در دو طرف معادله برابر هم قرار می دهیم.

$a_{n-1}=- a_{n}( x_{1} + x_{2} +...+ x_{n})$

$ a_{n-2} = a_{n} ( x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} +....+ x_{n-1} x_{n} )$

.

.

.

$a_{0}=$$(-۱)^{n} a_{n}( x_{1} x_{2} ... x_{n})$

حال ما می توانیم ضرایب یک چند جمله ای را(البته بعد از جمله اول) بر حسب ریشه ها و $ a_{n} $ بنویسیم.

توجه داشته باشید که بنابر قضیه اساسی جبر، هر چندجمله‌ای درجه n دارای n ریشه است.

مثال:

$x^3+2x^2+2x+1$

با توجه به قضیه ویت داریم:

$2=-1(x_1+x_2+x_3)$

$2=1(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)$

$1=-1(x_1x_2x_3)$

با یک بررسی ساده متوجه خواهیم شد که یکی از ریشه های این چندجمله‌ای $-1$ است. پس با جایگذاری خواهیم داشت:

$x_2+x_3=-1$

$x_2x_3=1$

پس اگر بخواهیم عبارت اول را تجزیه کنیم، به شکل زیر می شود:

$x^3+2x^2+2x+1=(x+1)(x^2+x+1)$


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...