چگونه رادیکالِ هر عدد با هر فرجه‌ای را به‌صورت تقریبی محاسبه کنیم؟

Question

به نام خدا

اگر $p$ عددی حقیقی باشد، $ \sqrt[n]{p} $ به‌صورت تقریبی با استفاده از فرمول زیر بدست می‌آید:

$$\sqrt[n]{p} \cong \frac{p+(n-1)x^n}{nx^{n-1}} $$

که $x$ هر تقریب با ریشهٔ $n$-اُم $p$ است؛ مثلاً فرض کنید می‌خواهیم حاصل $ \sqrt[3]{127} $ را به‌دست آوریم، در این‌صورت یکی از جواب‌های $x$ برابر می‌شود با عدد $5$؛ زیرا: $ \sqrt[3]{125} =5 $.

Comments

بسیار زیبا و کاربردی. کاش اثباتش هم بود.

---

@mahdiahmadileedari با درود
من این فرمول را در یک سایت خارجی دیدم، در توضیحات آن دیدم که ذکر شده‌بود که این فرمول از مِتُد نیوتن رافسون گرفته‌شده‌است. برای اطلاعات بیشتر به این لینک مراجعه کنید:
https://www.estrategiaconcursos.com.br/blog/como-calcular-qualquer-raiz-sem-calculadora/amp/

---

@mahdiahmadileedari : با درود به دوستان گرامی: اثبات فرمول نیوتون رافسون را تقدیم میکنم. امیدوارم مفید واقع شود.
$1)\sqrt[n]{p}=x+d\Rightarrow$
برای اینکه محاسبه کمترین خطا را داشته باشد، x را بخش صحیح و d را بخش اعشاری در نظر میگیریم.
$2)p={{x}^{n}}+n{{x}^{n-1}}d+.....+x{{d}^{n-1}}+{{d}^{n}}\Rightarrow$
برای محاسبه تقریبی ریشه nام عددی مانند p از دو جمله اول فرمول بسط دوجمله ای نیوتون استفاده میشود. یعنی:
$3)p\approx {{x}^{n}}+n{{x}^{n-1}}d$
ابتدا بخش صحیح x را بطور دستی وارد فرمول تقریبی 3 میکنیم تا بخش اعشاری d را بطور تقریبی بدست آوریم. یعنی:
$4)d\approx \frac{p-{{x}^{n}}}{n{{x}^{n-1}}}$
سپس طبق فرمول ۱ بخش صحیح x را با تقریب بخش اعشاری d (سمت راست فرمول 4) جمع میکنیم. یعنی:
$5)\sqrt[n]{p}\approx x+\frac{p-{{x}^{n}}}{n{{x}^{n-1}}}$
حال اگر سمت راست معادله 5 را مخرج مشترک بگیریم، فرمول زیر بدست می آید:
$6)\sqrt[n]{p}\approx \frac{x}{1}+\frac{p-{{x}^{n}}}{n{{x}^{n-1}}}\Rightarrow$
$7)\sqrt[n]{p}\approx \frac{p+(n-1){{x}^{n}}}{n{{x}^{n-1}}}$
فرمول 7 همان فرمولی است که در بلاگ خوب دوست عزیز @Math.Al آمده است. با ارزوی موفقیت و سلامتی.