قضیه
اگر داشته باشیم $x\in\mathbb{R} \ , \ a>1$ آنگاه دو مجموعه $\mathbb{Q}_{<x} \ , \ \mathbb{Q}_{>x}$ را به صورت زیر تعریف میکنیم.
$$\mathbb{Q}_{<x} :=\{r\in \mathbb{Q} \ , \ r<x\} \ \ , \ \ \mathbb{Q}_{>x} :=\{r\in \mathbb{Q} \ , \ r>x\} $$
و همچنین تعریف میکنیم $(s_x:={\text{sup} \ a^r}_{r\in \mathbb{Q}>x} \ \ , \ \ i_x:={\text{inf} \ a^r}_{r\in \mathbb{Q}<x})$ آنگاه ثابت میشود.
- $ s_x=i_x \\$
اگر $ x \in \mathbb{Q} $ آنگاه $s_x=i_x=a^x$
اثبات قضیه
لِم اول $:$ اگر داشته باشیم $( a > 1 )$ آنگاه برای هر $(r_{\circ},r)\in \mathbb{Q}$ خواهیم داشت $(r_{\circ}<r \Rightarrow a^{r_{\circ}} < a^{r})$
لِم دوم $:$ برای هر عدد حقیقی $x\in\mathbb{R}$ وجود دارد یک دنباله صعودی از اعداد گویا که همگرا به $x$ است و همچنین وجود دارد یک دنباله نزولی از اعداد گویا که همگرا به $x$ است.
لِم سوم $:$ اگر داشته باشیم $(a>1 \ , \ r_{\circ}\in\mathbb{Q})$ آنگاه خواهیم داشت $(\lim\limits_{\mathbb{Q} \ni r\to r_{\circ}}a^r=a^{r_{\circ}})$
باتوجه به لِم اول نتیجه میشود مجموعه $\mathbb{Q}_{<x}$ از بالا و مجموعه $\mathbb{Q}_{>x}$ کراندار است زیرا اگر انتخاب کنیم. $\text{R}\in\mathbb{Q} > x $ آنگاه خواهیم داشت $ a^r <a^{\text{R}} $ برای هر $r\in\mathbb{Q} <x$ نتیجه مجموعه $\mathbb{Q}_{<x}$ از بالا کراندار.$\text{R}_{\circ}\in\mathbb{Q} < x $ آنگاه خواهیم داشت $ a^r >a^{\text{R}_\circ} $ برای هر $r\in\mathbb{Q} >x$ نتیجه مجموعه $\mathbb{Q}_{>x}$ از پایین کراندار.
در نتیجه خواهیم داشت $s_x \leq i_x$ و همچنین برای هر دو عدد $(r_1,r_2)\in \mathbb{Q}$ به طوری که $r_1<x<r_2$ خواهیم داشت.
$$a^{r_1}\leq s_x\leq i_x \leq a^{r_2} \ \Rightarrow \ 1 \leq \dfrac{i_x }{s_x}\leq \dfrac{a^{r_2}}{s_x}\leq\dfrac{a^{r_2}}{a^{r_1}}=a^{r_2-r_1}$$
حال باتوجه به لِم دوم دنباله هایی به صورت $r'_n \subset \mathbb{Q}<x \ , \ r''_n \subset \mathbb{Q}>x $ تعریف میکنیم به طوریکه $\lim\limits_nr'_n =r''_n=x $ نتیجه میشود که $ 1 \leq \dfrac{i_x }{s_x}\leq a^{\large{r''_n-r'_n}} $ که طبق لِم سوم خواهیم داشت $\lim\limits_n a^{\large{r''_n-r'_n}}=1 $ بنابراین داریم $i_x=s_x$. حال اگر $x\in\mathbb{Q}$ آنگاه دنباله های $r'_n ,r''_n$ همگرا به $x$ هستند و در نتیجه طبق لِم سوم خواهیم داشت.
$$s_x=\lim\limits_n a^{r'_n}=a^x=\lim\limits_n a^{r''_n}=i_x$$
