به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
ارسال شده آذر ۲۸, ۱۳۹۹ در مطالب ریاضی توسط saderi7 (7,443 امتیاز)
ویرایش شده آذر ۲۸, ۱۳۹۹ توسط saderi7
138 بازدید

جواب معادله مثلثاتی به صورت دو مجموعه جواب $x =(n)\dfrac{2\pi}{10},x=(n)\dfrac{2\pi}{30}$ بدست آمده است حال میخواهیم دو جواب را با هم ادغام کنیم. برای این کار عبارت $x=(n)\dfrac{2\pi}{30} $ معنی میکنیم دایره مثلثاتی $c(0,1)$ به طوریکه مجموعه نقاط آن $p(x,y)$ باشد در نظر میگیریم حال مجموعه ایی از $30$ نقطه روی دایره مثلثاتی $ p(x_{i},y_{i}) \ , 0\leq i\leq 29 $ انتخاب میکنیم به طوریکه.

  • محیط دایره به $30$ قسمت مساوی تقسیم شود.
  • نقطه $p(x_0,y_0)=p(0,1)$ در این $30$ نقطه باشد.
  • نقاط انتخاب شده را به مرکز دایره متصل میکنیم.

در این حالت $30$ زاویه برابر که هر زاویه $\dfrac{2\pi}{30}=12^{\circ}$ است خواهیم داشت. پس عبارت $\dfrac{2\pi}{30} $ برای ما مشخص شد.حال ضریب $n$ را معنا میدهیم. در قسمت قبل مجموعه از $30$ نقطه داشتیم $ p(x_{i},y_{i}) \ , 0\leq i\leq 29 $ به طوریکه نقطه $p(x_0,y_0)=p(0,1)$. اگر نقاط را به صورت عکس عقربه های ساعت نامگذاری کنیم آنگاه رابطه ضریب $n$ با $i $ به صورت زیر بیان میکنیم.

  • اگر $n=1$ آنگاه $x=(1)\dfrac{2\pi}{30}$ و به این معنی است که اگر از نقطه $p(x_1,y_1)$ به مرکز دایره وصل کنیم زاویه $\dfrac{2\pi}{30}$ ایجاد میشود.
  • اگر $n=2$ آنگاه $x=(2)\dfrac{2\pi}{30}$ و به این معنی است که اگر از نقطه $p(x_2,y_2)$ به مرکز دایره وصل کنیم زاویه $(2)\dfrac{2\pi}{30}$ ایجاد میشود.
  • اگر $n=3$ آنگاه $x=(3)\dfrac{2\pi}{30}$ و به این معنی است که اگر از نقطه $p(x_3,y_3)$ به مرکز دایره وصل کنیم زاویه $(3)\dfrac{2\pi}{30}$ ایجاد میشود. و همینطور تا نقطه سی اُم ( ضریب $n$ برای هر عدد صحیح میتواند باشد ) که برای $n\geq30$ به صورت متناوب تکرار میشود.

پس مجموعه جواب $x=(n)\dfrac{2\pi}{30}$ برابر مجموعه $30$ نقاطی که انتخاب کرده ایم. حال تمام گفته ها به صورت شکل مییاوریم.

w

حال عبارت $x =(n)\dfrac{2\pi}{10}$ با توجه به گفته های قبل معنی میکنیم. ابتدا یک دایره مثلثاتی در نظر میگیریم حال مجموعه ای از $10$ نقطه روی دایره مثلثاتی انتخاب میکنیم به طوری که محیط دایره را به $10$ مساوی تقسیم کند و نقطه $p(0,1)$ در این ده نقطه باشد. در نتیجه نقاط انتخاب شده را بهم وصل میکنیم که در این حالت $10$ زاویه برابر که هر زاویه $\dfrac{2\pi}{10}=36^{\circ}$.بنابراین مجموعه جواب $x =(n)\dfrac{2\pi}{10}$ برابر است با مجموعه $10$ نقاطی که انتخاب کرده ایم.

میدانیم این زاویه $ \dfrac{2\pi}{10}=36^{\circ} $ مضرب سه زاویه $\dfrac{2\pi}{30}=12^{\circ}$ است $3(12^{\circ})=36^{\circ}$ در نتیجه مجموعه $10$ نقاط $x =(n)\dfrac{2\pi}{10}$ روی مجموعه نقاط $x=(n)\dfrac{2\pi}{30}$ قرار گرفته که جواب جدیدی ایجاد نمیکند. پس جواب ادغام شده $x=(n)\dfrac{2\pi}{30}$ میباشد.


دو مجموعه جواب $x =(n)\dfrac{2\pi}{10}+\dfrac{\pi}{10},x=(n)\dfrac{2\pi}{10}+\dfrac{\pi}{30}$ را در نظر بگیرید.

  • ابتدا مجموعه جواب $x=(n)\dfrac{2\pi}{10}+\dfrac{\pi}{10}$ معنی میکنیم ابتدا یک دایره مثلثاتی در نظر میگیریم حال مجموعه ای از $10$ نقطه روی دایره مثلثاتی انتخاب میکنیم به طوری که محیط دایره را به $10$ مساوی تقسیم کند و نقطه $p(x,y)$ به طوری که به مرکز دایره وصل شود زاویه $ \dfrac{\pi}{10}=18^{\circ} $ ایجاد شود در این ده نقطه باشد. در نتیجه نقاط انتخاب شده را به مرکز وصل میکنیم که در این حالت $10$ زاویه برابر که هر زاویه $\dfrac{2\pi}{10}=36^{\circ}$.بنابراین مجموعه جواب $x =(n)\dfrac{2\pi}{10}$ برابر است با مجموعه $10$ نقاطی که انتخاب کرده ایم.

  • مجموعه جواب $x=(n)\dfrac{2\pi}{10}+\dfrac{\pi}{30}$ معنی میکنیم ابتدا یک دایره مثلثاتی در نظر میگیریم حال مجموعه ای از $10$ نقطه روی دایره مثلثاتی انتخاب میکنیم به طوری که محیط دایره را به $10$ مساوی تقسیم کند و نقطه $p(x,y)$ به طوری که به مرکز دایره وصل شود زاویه $ \dfrac{\pi}{30}=6^{\circ} $ ایجاد شود در این ده نقطه باشد. در نتیجه نقاط انتخاب شده را به مرکز وصل میکنیم که در این حالت $10$ زاویه برابر که هر زاویه $\dfrac{2\pi}{10}=36^{\circ}$.بنابراین مجموعه جواب $x =(n)\dfrac{2\pi}{30}$ برابر است با مجموعه $10$ نقاطی که انتخاب کرده ایم.

همانطور که مشخص است مجموعه $10$ نقاط $x =(n)\dfrac{2\pi}{30}$ با مجموعه $10$ نقاط $x =(n)\dfrac{2\pi}{10}$ عضو مشترک ندارند. در نتیجه اجتماع دو مجموعه برابر خواهد شد $x =(n)\dfrac{2\pi}{10}+\dfrac{\pi}{10},x=(n)\dfrac{2\pi}{10}+\dfrac{\pi}{30}$.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...