جواب معادله مثلثاتی به صورت دو مجموعه جواب $x =(n)\dfrac{2\pi}{10},x=(n)\dfrac{2\pi}{30}$ بدست آمده است حال میخواهیم دو جواب را با هم ادغام کنیم. برای این کار عبارت $x=(n)\dfrac{2\pi}{30} $ معنی میکنیم دایره مثلثاتی $c(0,1)$ به طوریکه مجموعه نقاط آن $p(x,y)$ باشد در نظر میگیریم حال مجموعه ایی از $30$ نقطه روی دایره مثلثاتی
$ p(x_{i},y_{i}) \ , 0\leq i\leq 29 $ انتخاب میکنیم به طوریکه.
- محیط دایره به $30$ قسمت مساوی تقسیم شود.
- نقطه $p(x_0,y_0)=p(0,1)$ در این $30$ نقطه باشد.
- نقاط انتخاب شده را به مرکز دایره متصل میکنیم.
در این حالت $30$ زاویه برابر که هر زاویه $\dfrac{2\pi}{30}=12^{\circ}$ است خواهیم داشت. پس عبارت $\dfrac{2\pi}{30} $ برای ما مشخص شد.حال ضریب $n$ را معنا میدهیم. در قسمت قبل مجموعه از $30$ نقطه داشتیم $ p(x_{i},y_{i}) \ , 0\leq i\leq 29 $ به طوریکه نقطه $p(x_0,y_0)=p(0,1)$. اگر نقاط را به صورت عکس عقربه های ساعت نامگذاری کنیم آنگاه رابطه ضریب $n$ با $i $ به صورت زیر بیان میکنیم.
- اگر $n=1$ آنگاه $x=(1)\dfrac{2\pi}{30}$ و به این معنی است که اگر از نقطه $p(x_1,y_1)$ به مرکز دایره وصل کنیم زاویه $\dfrac{2\pi}{30}$ ایجاد میشود.
- اگر $n=2$ آنگاه $x=(2)\dfrac{2\pi}{30}$ و به این معنی است که اگر از نقطه $p(x_2,y_2)$ به مرکز دایره وصل کنیم زاویه $(2)\dfrac{2\pi}{30}$ ایجاد میشود.
- اگر $n=3$ آنگاه $x=(3)\dfrac{2\pi}{30}$ و به این معنی است که اگر از نقطه $p(x_3,y_3)$ به مرکز دایره وصل کنیم زاویه $(3)\dfrac{2\pi}{30}$ ایجاد میشود.
و همینطور تا نقطه سی اُم ( ضریب $n$ برای هر عدد صحیح میتواند باشد ) که برای $n\geq30$ به صورت متناوب تکرار میشود.
پس مجموعه جواب $x=(n)\dfrac{2\pi}{30}$ برابر مجموعه $30$ نقاطی که انتخاب کرده ایم. حال تمام گفته ها به صورت شکل مییاوریم.
حال عبارت $x =(n)\dfrac{2\pi}{10}$ با توجه به گفته های قبل معنی میکنیم. ابتدا یک دایره مثلثاتی در نظر میگیریم حال مجموعه ای از $10$ نقطه روی دایره مثلثاتی انتخاب میکنیم به طوری که محیط دایره را به $10$ مساوی تقسیم کند و نقطه $p(0,1)$ در این ده نقطه باشد. در نتیجه نقاط انتخاب شده را بهم وصل میکنیم که در این حالت $10$ زاویه برابر که هر زاویه $\dfrac{2\pi}{10}=36^{\circ}$.بنابراین مجموعه جواب $x =(n)\dfrac{2\pi}{10}$ برابر است با مجموعه $10$ نقاطی که انتخاب کرده ایم.
میدانیم این زاویه $ \dfrac{2\pi}{10}=36^{\circ} $ مضرب سه زاویه $\dfrac{2\pi}{30}=12^{\circ}$ است $3(12^{\circ})=36^{\circ}$ در نتیجه مجموعه $10$ نقاط $x =(n)\dfrac{2\pi}{10}$ روی مجموعه نقاط $x=(n)\dfrac{2\pi}{30}$ قرار گرفته که جواب جدیدی ایجاد نمیکند. پس جواب ادغام شده $x=(n)\dfrac{2\pi}{30}$ میباشد.
دو مجموعه جواب $x =(n)\dfrac{2\pi}{10}+\dfrac{\pi}{10},x=(n)\dfrac{2\pi}{10}+\dfrac{\pi}{30}$ را در نظر بگیرید.
ابتدا مجموعه جواب $x=(n)\dfrac{2\pi}{10}+\dfrac{\pi}{10}$ معنی میکنیم ابتدا یک دایره مثلثاتی در نظر میگیریم حال مجموعه ای از $10$ نقطه روی دایره مثلثاتی انتخاب میکنیم به طوری که محیط دایره را به $10$ مساوی تقسیم کند و نقطه $p(x,y)$ به طوری که به مرکز دایره وصل شود زاویه $ \dfrac{\pi}{10}=18^{\circ} $ ایجاد شود در این ده نقطه باشد. در نتیجه نقاط انتخاب شده را به مرکز وصل میکنیم که در این حالت $10$ زاویه برابر که هر زاویه $\dfrac{2\pi}{10}=36^{\circ}$.بنابراین مجموعه جواب $x =(n)\dfrac{2\pi}{10}$ برابر است با مجموعه $10$ نقاطی که انتخاب کرده ایم.
مجموعه جواب $x=(n)\dfrac{2\pi}{10}+\dfrac{\pi}{30}$ معنی میکنیم ابتدا یک دایره مثلثاتی در نظر میگیریم حال مجموعه ای از $10$ نقطه روی دایره مثلثاتی انتخاب میکنیم به طوری که محیط دایره را به $10$ مساوی تقسیم کند و نقطه $p(x,y)$ به طوری که به مرکز دایره وصل شود زاویه $ \dfrac{\pi}{30}=6^{\circ} $ ایجاد شود در این ده نقطه باشد. در نتیجه نقاط انتخاب شده را به مرکز وصل میکنیم که در این حالت $10$ زاویه برابر که هر زاویه $\dfrac{2\pi}{10}=36^{\circ}$.بنابراین مجموعه جواب $x =(n)\dfrac{2\pi}{30}$ برابر است با مجموعه $10$ نقاطی که انتخاب کرده ایم.
همانطور که مشخص است مجموعه $10$ نقاط $x =(n)\dfrac{2\pi}{30}$ با مجموعه $10$ نقاط $x =(n)\dfrac{2\pi}{10}$ عضو مشترک ندارند. در نتیجه اجتماع دو مجموعه برابر خواهد شد $x =(n)\dfrac{2\pi}{10}+\dfrac{\pi}{10},x=(n)\dfrac{2\pi}{10}+\dfrac{\pi}{30}$.
