روش به‌دست آوردن مساحت یک $n$-ضلعی منتظم

Question

به نام خدا

اگر در یک $n$-ضلعی منتظم، مساحت را با $S$، طول یک ضلع را با $a$ و ارتفاع یکی از مثلث‌هایی که در آن می‌توان تشکیل شود را با $h$ نمایش دهیم؛ مساحت یک $n$-ضلعی منتظم از رابطهٔ زیر به‌دست می‌آید:

$$S= \frac{1}{2}ahn$$

اما فرمول دیگری نیز وجود دارد که کمی پیچیده‌تر است:

$$S=\frac{1}{4}na^2\cot(\frac{\pi}{n})$$

که اثبات این فرمول را می‌توانید در این لینک از همین سایت ببینید.

Comments

Math.Al@منظورتان را با چند مثال نشان دهید.به نظرم اشکال داره

---

@good4us اگر منظورتان فرمول اول ($s= \frac{1}{2}ahn$) است، می‌توانم این فرمول را به‌راحتی برایتان اثبات کنم:
یک $n$ ضلعی منتظم را می‌توان دقیقاً به $n$ مثلث تقسیم کرد، خوب، حالا اگر مساحت یکی از مثلث‌هارا به‌دست آوریم، و بعد در $n$ ضرب کنیم، مساحت چند ضلعی منتظم مورد نظرمان به‌دست می‌آید. ارتفاع هرکدام از مثلث‌های داخل چند ضلعی منتظم را $h$ در نظر می‌گیریم، قاعدهٔ هرکدام از مثلث‌ها (که برابر با طول ضلع چند ضلعی منتظم می‌باشد) را هم $a$ در نظر می‌گیریم و $h$ را در $a$ و یک‌دوم ضرب می‌کنیم تا مساحت یکی از مثلث‌های داخل چند ضلعی منتظم به‌دست آید، و همین مساحت یکی از مثلث‌ها را در $n$ ضرب می‌کنیم (زیرا همانطور که در ابتدا گفتم در یک چند ضلعی منتظم $n$ مثلث وجود دارد) و در نهایت مساحت چند ضلعی منتظم بدین شکل می‌شود:
$$s= \frac{1}{2}ahn$$