به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
ارسال شده ۲۸ بهمن ۱۳۹۹ در مطالب ریاضی توسط ناصر آهنگرپور (672 امتیاز)
ویرایش شده ۳۰ بهمن ۱۳۹۹ توسط ناصر آهنگرپور
72 بازدید

در موضوع تفاوت بین دیفرانسیل و مشتق مقالات ترجمه شده ای در اینترنت دیده میشود که بعضاً اشتباهات گمراه کننده زیادی دارند. این موضوع مرا برآن داشت که مقاله ای بزبان انگیسی را ترجمه کنم و دراختیار دوستان قراردهم. با اینکه تلاشم را کرده ام که خالی از اشتباه باشد، ولی از صاحبنظران و استادان عزیز خواهشمندم اگر خطایی دیدند، گوشزد کنند تا همه از این مقاله بهره مند شویم. مرجع اصلی در پایین بلاگ درج شده است.


تفاوت بین دیفرانسیل و مشتق

برای درک بهتر تفاوت بین دیفرانسیل و مشتق یک تابع، باید ابتدا مفهوم تابع را درک کنیم. تابع یکی از مفاهیم اساسی در ریاضیات است که رابطه بین مجموعه ای از ورودیها و مجموعه ای از خروجی های ممکن را تعریف میکند که در آن هر ورودی به یک خروجی مرتبط است. یک متغیر مستقل است و متغیر دیگر وابسته است. مفهوم تابع یکی از ناچیزشمرده ترین مباحث در ریاضیات است ولی در تعریف روابط فیزیکی لازم است. برای مثال فرض کنید جمله "$y$ تابع $x$ است" بمعنای موضوعی مرتبط با $y$ است که مستقیماً با فرمولی به $x$ مرتبط است. بیایید شرطی را فرض کنیم که ورودی $6$ است و قرار است تابع، $5$ را به ورودی $6$ بیفزاید. نتیجه $6+5=11$ خواهد بود، که خروجی شماست. در ریاضیات استثناهایی (یا میتوانید بگویید مسائلی) وجود دارند که نمی توانند به تنهایی با روشهای عادی هندسه یا جبر حل شوند. شاخه جدیدی از ریاضیات بنام حسابان برای حل این مسائل بکار میرود. حسابان اساساً با ریاضیات عادی متفاوت است که نه تنها مفاهیم هندسه، حساب، و جبر را بکار میگیرد، بلکه با تغییر و حرکت سروکار دارد. حسابان بعنوان یک ابزار، مشتق تابع را بعنوان حدی از نوع خاص تعریف میکند. مفهوم مشتق یک تابع، حسابان را از شاخه های دیگر ریاضیات متمایز میکند. دیفرانسیل زیرشاخه حسابان است که به تغییر بینهایت کوچک در کمیتی متغیر اشاره میکند و یکی از دو بخش اساسی حسابان است. شاخه دیگر، حساب انتگرال نامیده میشود.

توضیحات تصویر


دیفرانسیل چیست؟

دیفرانسیل در کنار حساب انتگرال یکی از بخشهای اساسی حسابان است. دیفرانسیل زیرشاخه ای از حسابان است که با تغییرات بینهایت کوچک در کمیتی متغیر سروکار دارد. جهانی که در آن زندگی میکنیم پر از کمیتهای مرتبط بهم است که بصورت دوره ای تغییر میکنند. برای مثال، مساحت یک جسم دوار که با تغییرات شعاع، تغییر میکند یا پرتابه ای که سرعتش تغییرمیکند. این موضوعات متغیر، در واژگان ریاضی، بعنوان متغیر شناخته میشوند و مشتق، میزان تغییر یک متغیر نسبت به دیگری است. و معادله ای که بیانگر رابطه بین این متغیرهاست، معادله دیفرانسیل نامیده میشود. معادلات دیفرانسیل، معادلاتی هستند که دارای توابع نامعلوم و برخی از مشتقات آنها هستند. توضیحات تصویر


مشتق چیست؟

مفهوم مشتق تابع یکی از قویترین مفاهیم در ریاضیات است. مشتق تابع معمولاً یک تابع جدید است که بعنوان تابع مشتق یا تابع نرخ شناخته میشود. مشتق تابع، بیانگر میزان تغییر لحظه ای در مقدار متغیر وابسته، نسبت به تغییر در مقدار متغیر مستقل است. مشتق ابزار اساسی حسابان است که میتواند بعنوان شیب خط مماس نیز تعبیر شود. مشتق، شیب نمودار تابع در نقطه ای مفروض بر نمودار را می سنجد. با بیان ساده، مشتق نرخی است که در آن، تابع در نقطه خاصی تغییر میکند.


تفاوت بین دیفرانسیل و مشتق

تعریف دیفرانسیل درمقابل مشتق

هر دو واژه دیفرانسیل و مشتق ازلحاظ رابطه بینابینی بطور تنگاتنگی به یکدیگر مرتبط هستند. در ریاضیات، موضوعات متغیر، متغیر نامیده میشوند و میزان تغییر یک متغیر نسبت به دیگری بعنوان مشتق شناخته میشود. معادلاتی که رابطه بین این متغیرها و مشتقات آنها را تعریف میکنند، معادلات دیفرانسیل نامیده میشوند. دیفرانسیل فرآیند یافتن مشتق است. مشتق تابع، میزان تغییر مقدار خروجی نسبت به مقدار ورودی آن است، درحالیکه دیفرانسیل تغییر واقعی تابع است.


رابطه دیفرانسیل در مقابل مشتق

دیفرانسیل روش محاسبه مشتق است که مساویست با میزان تغییر خروجی $y$ تابع، نسبت به تغییر متغیر $x$. با بیان ساده، مشتق به میزان تغییر $y$، نسبت به $x$ اشاره میکند و رابطه تابع بصورت $y=f(x)$ بیان میشود، و معنایش این است که $y$ تابع $x$ است. مشتق تابع $f(x)$ بصورت تابعی تعریف میشود که مقدارش، شیب $f(x)$ی را تولید میکند که آنرا ایجاد کرده و $f(x)$ دیفرانسیلپذیر است. مشتق به شیب نمودار در نقطه مفروض اشاره میکند.


بیان دیفرانسیل در مقابل مشتق

دیفرانسیلها بصورت $dx$, $dy$, $dt$ و غیره بیان میشوند، که در آنها $dx$ بیانگر تغییر کوچک در $x$، $dy$ بیانگر تغییر کوچک در $y$، و $dt$ بیانگر تغییر کوچک در $t$ است. هنگام مقایسه تغییرات در کمیتهای مرتبط که در آن $y$ تابع $x$ است، دیفرانسیل $dy$، میتواند بصورت زیر نوشته شود.

$dy= f'(x)dx$

مشتق تابع، شیب تابع در هر نقطه ای است و بصورت $d/dx$ نوشته میشود، برای مثال مشتق $sin(x)$ میتواند بصورت زیر نوشته شود:

$\frac{d}{dx}sin(x)=sin(x)′=cos(x)$


دیفرانسیل در مقابل مشتق: جدول مقایسه

مقایسه 1

دیفرانسیل زیرشاخه ای از حسابان است که به تفاوتهای(تغییرات) بینهایت کوچک در کمیتی متغیر اشاره میکند

مشتق تابع، میزان تغییر مقدار خروجی نسبت به مقدار ورودی آن است.


مقایسه 2

دیفرانسیل بیانگر معادله ایست که دارای یک تابع و یک یا چند مشتق آن تابع است.

مشتق بیانگر تغییر لحظه ای در متغیر وابسته نسبت به متغیر مستقل آن است.


مقایسه 3

در دیفرانسیل تابعی که بیانگر رابطه بین متغیرهای وابسته و مستقل است، نامعلوم است.

در مشتق تابعی که بیانگر رابطه بین متغیرهاست، معلوم است.


خلاصه دیفرانسیل در مقابل مشتق

در ریاضیات، میزان تغییر یک متغیر نسبت به متغیر دیگر، مشتق نامیده میشود و معادلاتی که رابطه بین این متغیرها و مشتقات آنها را بیان میکند، معادلات دیفرانسیل نامیده میشوند. بطور خلاصه، معادلات دیفرانسیل با مشتقات مرتبط هستند که درواقع مشخص میکنند چگونه یک کمیت نسبت به دیگری تغییر میکند. با حل کردن معادله دیفرانسیل، فرمولی برای کمیتی بدست می آورید که دارای مشتقات نیست. روش محاسبه مشتق، دیفرانسیل نامیده میشود. به بیان ساده، مشتق تابع، میزان تغییر مقدار خروجی نسبت به مقدار ورودی آن است. درحالیکه دیفرانسیل تغییر واقعی تابع است.

مقاله ترجمه شده پراشتباه در اینترنت

مرجع انگلیسی ترجمه شده در متن این بلاگ

دارای دیدگاه 3 روز قبل توسط mahdiahmadileedari (531 امتیاز)
بسیار شیوا و روان. یاضی را هرچه بیشتر کنکاش کنید روانتر بیان می شود . این را به تجربه آموخته ام

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...