مجموعهٔ چهارعضویِ زیر را در نظر بگیرید.
$$\lbrace \begin{bmatrix}
a & b \\
0 & 0
\end{bmatrix}\mid a,b\in\bar{\mathbb{Z}}_2\rbrace$$
که یعنی چهار ماتریس زیر که برای کوتاهکردن نوشتههای پسین، آنها را نیز نامگذاری کردهایم.
$$O=\begin{bmatrix}
0 & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix},A=\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
0 & 0
\end{bmatrix},C=\begin{bmatrix}
1 & 1\\
0 & 0
\end{bmatrix}$$
این مجموعه را به همراه دو عمل جمع و ضرب معمولی ماتریسها در نظر بگیرید. برایتان باید روشن باشد که نسبت به جمع بسته است و عضو همانیِ جمعی $O$ است و قرینهٔ جمعیِ هر عضو خودش است. پس تا اینجا با عمل جمع گروهشدن را داریم. برای ضرب هم چون
$$\begin{bmatrix} a & b\\ 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} a' & b'\\ 0 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} aa' & ab'\\ 0 & 0\end{bmatrix}$$
نسبت به عمل ضرب بسته است و شرکتپذیری ضربی و پخشپذیری ضرب به جمع نیز به روش مشابه حلقهٔ ماتریسهای کلی ثابت میشوند. پس یک حلقه داریم. باید از رابطهٔ نوشته شده در بالا برایتان روشن باشد که یک حلقهٔ جابجایی نیست. ولی در هر صورت، اگر تمایل داشتید میتوانید هر ۱۶ ضرب (در واقع ۹ تا اگر ضربهای شامل $O$ را بدیهی بشمارید) را به صورت صریح بنویسید و به جدول زیر برسید.
$$\begin{array}{l|lll}
& O & A & B & C\\
\hline
O & O & O & O & O\\
A & O & A & B & C\\
B & O & O & O & O\\
C & O & A & B & C
\end{array}$$
دو ویژگیِ جالب این حلقه این است که
- این حلقه دارای دو عضو همانیِ ضربیِ چپ است یعنی $A$ و $C$ ولی هیچ عضو همانیِ ضربی راستی ندارد. و به طبع عضو همانی دوطرفه هم ندارد.
- این حلقه دارای یک عضو صفرِ ضربی چپِ ناصفر است یعنی $B$ ولی تنها عضو صفر ضربی راستش همان $O$ است که عضو صفر ضربی دوطرفهاش نیز است.
برای ساختن نمونهای که یک ضربی راست داشته باشد ولی یک ضربی چپ نداشتهباشد، میتوانید به جای استفاده از ماتریسهای سطری، از ماتریسهای ستونی استفاده کنید. یعنی درایههای ستون نخست را آزاد بگذارید و درایههای ستون دوم را صفر بگذارید.
