به نام خدا
برای بهدست آوردن و یا اثبات قاعدۀ بخشپذیری اعداد بر یک عدد دلخواه، روش جبریِ سادهای وجود دارد.
برای مثال، قاعدۀ بخشپذیری اعداد بر عدد 7، بدین صورت است:
عددی بر 7 بخشپذیر است که 2 برابر رقم یکان $-$ بقیۀ ارقامِ آن، بر 7 بخشپذیر باشد.
اما چگونه میتوان این قاعده (و یا قواعد دیگر) را بهصورت جبری اثبات کرد؟ برای اینکار، ابتدا مینویسیم:
$$ \overline{ab} =10a+b$$
سپس:
$$ \overline{ab} =10a+b=7a+7b+3a-6b$$
و بعد از فاکتورگیری:
$$ \overline{ab} =10a+b=7a+7b+3a-6b=7(a+b)-3(2b-a)$$
به آخرین پرانتزِ سمت راست تساوی توجه کنید ($2b-a$)، اگر این پرانتز بر 7 بخشپذیر باشد، پس $-3(2b-a)$ نیز بر 7 بخشپذیر میشود و در نتیجه، کل عبارت $7(a+b)-3(2b-a)$ نیز بر 7 بخشپذیر میشود. یعنی این عبارت در صورتی بر 7 بخشپذیر است که $2b-a$ بر 7 بخشپذیر باشد. در قاعدۀ بخشپذیری بر عدد 7 هم که در ابتدای این بخش به آن اشاره شد، عبارت "2 برابر رقم یکان $-$ بقیۀ ارقام" بهصورت جبری همان $2b-a$ میشود.
با استفاده از روشی که در بالا از آن برای اثبات یک قاعدۀ بخشپذیری استفاده کردیم، میتوانید قاعدۀ بخشپذیری اعداد بر یک عدد دلخواه را بهدست آورید.
مثلاً فرض کنید میخواهیم قاعدۀ بخشپذیری اعداد بر عدد 37 را بهدست آوریم، برای این کار ابتدا مینویسیم:
$$ \overline{ab} =10a+b$$
سپس مینویسیم:
$$ \overline{ab} =10a+b=37a+37b-27a-36b$$
و بعد فاکتورگیری میکنیم:
$$ \overline{ab} =10a+b=37a+37b-27a-36b=37(a+b)-9(3a+4b)$$
به آخرین پرانتزِ سمت راست تساوی توجه کنید ($3a+4b$)، اگر این پرانتز بر 37 بخشپذیر باشد، پس $-9(3a+4b)$ نیز بر 37 بخشپذیر میشود و در نتیجه، کل عبارت $37(a+b)-9(3a+4b)$ نیز بر 37 بخشپذیر میشود. یعنی این عبارت در صورتی بر 37 بخشپذیر است که $3a+4b$ بر 37 بخشپذیر باشد. بنابراین اگر کمی دقت کنید متوجه میشوید که قاعدۀ بخشپذیری بر عدد 37 چنین میشود:
عددی بر 37 بخشپذیر است که 4 برابر رقم یکان $+$ 3 برابر بقیۀ ارقامِ آن، بر 37 بخشپذیر باشد.
