با توجه به حجم زیاد مطالب مربوط به این مبحث، بلاگ در دو بخش تقدیم علاقمندان میشود. منابع بلاگ در بخش دوم تقدیم خواهد شد. امید است مفید واقع شود.
اثبات قواعد بخشپذیری و روشهای تولید آنها (بخش اول):
۱- روش رقمهای پایانی: جدول زیر و همنهشتی
${{10}^{n}}\overset{d}{\mathop{\equiv }}\,0$
نشان میدهد برای تقسیمپذیری عددی مانند
$$a=\overline{{{a}_{k}}{{a}_{k-1}}.....{{a}_{1}}{{a}_{0}}}$$
بر $d$، کافیست $n$ رقم سمت راست $a$ رابیازماییم.
$$
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{d}&\text{n} \\
\hline
2,5,10&1 \\
\hline
4,20,25,50,100&2 \\
\hline
8,40&3 \\
\hline
16,80&4 \\
\hline
32&5 \\
\hline
64&6 \\
\hline
\end{array}
$$
اثبات: باتوجه به اینکه ${{10}^{n}}\overset{d}{\mathop{\equiv }}\,0$ است، داریم:
$$a=\overline{{{a}_{k}}{{a}_{k-1}}.....{{a}_{1}}{{a}_{0}}}={{10}^{n}}(\overline{{{a}_{k}}{{a}_{k-1}}.....{{a}_{n}}})+\overline{{{a}_{n-1}}.....{{a}_{0}}}\overset{d}{\mathop{\equiv }}\,0\times (\overline{{{a}_{k}}{{a}_{k-1}}.....
{{a}_{n}}})+\overline{{{a}_{n-1}}.....{{a}_{0}}}\overset{d}{\mathop{\equiv }}\,\overline{{{a}_{n-1}}.....{{a}_{0}}}$$
مثال: چون ${{10}^{3}}\overset{8}{\mathop{\equiv }}\,0$، داریم:
$\text{134217728}={{10}^{3}}(134217)+728\overset{8}{\mathop{\equiv }}\,0\times (134217)+728\overset{8}{\mathop{\equiv }}\,728\overset{8}{\mathop{\equiv }}\,0$
2- روش مجموع بلوکهای ارقام: باتوجه به این نکته که در جدول زیر ${{10}^{n}}\overset{d}{\mathop{\equiv }}\,1$
است، نشان میدهد که برای آزمون بخشپذیری عدد $a$ بر $d$، کافیست مجموع بلوکهای $n$ رقمی از سمت راست آن عدد را بیازماییم.
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
d & 3 & 9 & 11 & 27 & 33 & 37 & 99 & 101 \\
\hline
n & 1 & 1 & 2 & 3 & 2 & 3 & 2 & 4 \\
\hline
\end{array}
$$
اثبات: با درنظر گرفتن همنهشتی ${{10}^{n}}\overset{d}{\mathop{\equiv }}\,1$ و اینکه هر عدد را میتوان بشکل زیر نوشت:
$$a={{({{10}^{n}})}^{m}}({{a}_{(m+1)n-1}}...{{a}_{mn}})+{{({{10}^{n}})}^{m-1}}({{a}_{mn-1}}...{{a}_{(m-1)n}})+...+
{{({{10}^{n}})}^{1}}({{a}_{2n-1}}...{{a}_{n}})+{{a}_{n-1}}...{{a}_{0}}$$
داریم:
$$a\overset{d}{\mathop{\equiv }}\,{{1}^{m}}\times (\overline{{{a}_{(m+1)n-1}}...{{a}_{mn}}})+{{1}^{m-1}}\times (\overline{{{a}_{mn-1}}...{{a}_{(m-1)n}}})+...+{{1}^{1}}\times (\overline{{{a}_{2n-1}}...{{a}_{n}}})+\overline{{{a}_{n-1}}...
{{a}_{0}}}\Rightarrow$$
$$a\overset{d}{\mathop{\equiv }}\,(\overline{{{a}_{(m+1)n-1}}...{{a}_{mn}}})+(\overline{{{a}_{mn-1}}...{{a}_{(m-1)n}}})+...+(\overline{{{a}_{2n-1}}...{{a}_{n}}})+\overline{{{a}_{n-1}}...{{a}_{0}}}$$
مثال: چون ${{10}^{3}}\overset{37}{\mathop{\equiv }}\,1$، داریم،
$$\text{1242904}\overset{37}{\mathop{\equiv }}\,{{({{10}^{3}})}^{2}}\times 1+{{({{10}^{3}})}^{1}}\times 242+904\overset{37}{\mathop{\equiv }}\,1+242+904\overset{37}{\mathop{\equiv }}\,1147\overset{37}{\mathop{\equiv }}\,1+147\overset{37}{\mathop{\equiv }}\,148\overset{37}{\mathop{\equiv }}\,0$$
3- روش مجموع متناوب مثبت و منفی بلوکهای ارقام: باتوجه به این نکته که در جدول زیر ${{10}^{n}}\overset{d}{\mathop{\equiv }}\,-1$
است، نشان میدهد که برای بخشپذیری عددی مانند $a$ بر $d$، کافیست مجموع متناوب مثبت و منفی بلوکهای $n$ رقمی از سمت راست را بیازماییم.
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
d&7&11&13&73&77&91&101\\
\hline
n&3&1&3&4&3&3&2\\
\hline
\end{array}
$$
اثبات: با درنظر گرفتن همنهشتی ${{10}^{n}}\overset{d}{\mathop{\equiv }}\,-1$ و اینکه هر عدد $a$ را میتوان بشکل زیر نوشت:
$$a={{({{10}^{n}})}^{m}}(\overline{{{a}_{(m+1)n-1}}...{{a}_{mn}}})+{{({{10}^{n}})}^{m-1}}(\overline{{{a}_{mn-1}}...{{a}_{(m-1)n}}})+...+{{({{10}^{n}})}^{1}}(\overline{{{a}_{2n-1}}...{{a}_{n}}})+\overline{{{a}_{n-1}}...{{a}_{0}}}$$
داریم:
$$a\overset{d}{\mathop{\equiv }}\,{{(-1)}^{m}}(\overline{{{a}_{(m+1)n-1}}...{{a}_{mn}}})+{{(-1)}^{m-1}}(\overline{{{a}_{mn-1}}...{{a}_{(m-1)n}}})+...+{{(-1)}^{1}}(\overline{{{a}_{2n-1}}...{{a}_{n}}})+\overline{{{a}_{n-1}}...{{a}_{0}}}\Rightarrow$$
مثال: چون ${{10}^{3}}\overset{13}{\mathop{\equiv }}\,-1$، داریم:
$$\text{50 }\!\!|\!\!\text{ 959 }\!\!|\!\!\text{ 064}\overset{13}{\mathop{\equiv }}\,{{({{10}^{3}})}^{2}}\times 50+{{({{10}^{3}})}^{1}}\times 959+064\overset{13}{\mathop{\equiv }}\,{{(-1)}^{2}}\times 50+{{(-1)}^{1}}\times 959+064$$
$$\overset{13}{\mathop{\equiv }}\,50-959+064\overset{13}{\mathop{\equiv }}\,-845\overset{13}{\mathop{\equiv }}\,0$$
