۴- روش برش از راست: یک نتیجه ابتدایی از نظریه مقدماتی اعداد به ما میگوید که اگر
$1$
بزرگترین شمارنده مشترک
$d$
و
$10$
باشد، آنگاه عددی مانند
$u$
وجود دارد که در همنهشتی
$10u\mathop \equiv \limits^d 1$
صدق کند. این عدد
$u$
، وارون
$10$
به پیمانه
$d$
نامیده میشود و می نویسیم
$u\mathop \equiv \limits^d {10^{ - 1}}$
. برای مثال،
$10(4)\mathop \equiv \limits^{13} 1$
، بنابراین
$4\mathop \equiv \limits^{13} {10^{ - 1}}$
. در واقع، هر عدد همنهشت با
$4$
به پیمانه 13 (مانند
$-9$
)، نیز وارون
$10$
به پیمانه 13 است. دانستن وارون
$10$
به پیمانه
$d$
(درصورت وجود) به آزمون بخشپذیری خوبی منتهی میشود.
1- فرض کنید
$u\mathop \equiv \limits^d {10^{ - 1}}$
، می نویسیم
$a = \overline {{a_k}.....{a_0}} $
و فرض می کنیم
$a' = \overline {{a_k}.....{a_1}} + u \times \overline {{a_1}} $
، آنگاه
$a$
بر
$d$
بخشپذیر است اگر و فقط اگر
$a'$
بر
$d$
بخشپذیر باشد.
2- فرض کنید
$v\mathop \equiv \limits^d {100^{ - 1}}$
، می نویسیم
$a = \overline {{a_k}.....{a_0}} $
و فرض می کنیم
$a'' = \overline {{a_k}.....{a_2}} + u \times (\overline {{a_1}{a_0}} )$
. آنگاه
$a$
بر
$d$
بخشپذیر است، اگر و فقط اگر
$a''$
بر
$d$
بخشپذیر باشد. در جدول زیر همه شمارنده های
$(2 \le d \le 102)$
فهرست شده اند که در آن
$10$
و
$100$
به پیمانه
$d$
وارون دارند. وارونی در جدول آمده که در این ترفند برشی، مناسب و رضایتبخش باشد. برای مثال
${10^{ - 1}}\mathop \equiv \limits^{87} 61$
، ولی
$61$
عدد آسانی برای ضرب ذهنی نیست، بنابراین حذف شده است. ازطرف دیگر،
${100^{ - 1}}\mathop \equiv \limits^{87} - 20$
، و
$-20$
برای استفاده، آسان است، بنابراین گنجانده شده است. تنها اعداد
$d$
که وارون مناسب(گردشده) ندارند عبارتند از
$d=63, 73, 97$
.
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
d&{{10}^{-1}}&{{100}^{-1}}&d&{{10}^{-1}}&{{100}^{-1}}&d&{{10}^{-1}}&{{100}^{-1}}\\
\hline
3 & 1,-2 & 1,-2 & 39 & 4 & {} & 73 & {} & {} \\
\hline
7 & 5,-2 & 4,-3 & 41 & -4 & {} & 77 & {} & -10 \\
\hline
9 & 1 & 1 & 43 & -30 & 40,-3 & 79 & 8 & {} \\
\hline
11 & -1 & 1 & 47 & {} & 8 & 81 & -8 & {} \\
\hline
13 & 4,-9 & 3,-10 & 49 & 5 & {} & 83 & 25 & {} \\
\hline
17 & -5 & 8,-9 & 51 & -5 & {} & 87 & {} & -20 \\
\hline
19 & 2 & 4 & 53 & {} & -9 & 89 & 9,-80 & -8 \\
\hline
21 & -2 & 4 & 57 & 40 & 4 & 91 & -9 & -10 \\
\hline
23 & 7 & 3,-20 & 59 & 6 & {} & 93 & {} & 40 \\
\hline
27 & -8 & 10 & 61 & -6 & {} & 97 & {} & {} \\
\hline
29 & 3 & -20 & 63 & {} & {} & 99 & 10 & 1 \\
\hline
31 & -3 & {} & 67 & -20 & -2 & 101 & -10 & -1 \\
\hline
33 & 10 & {} & 69 & 7 & -20 & {} & {} & {} \\
\hline
37 & -11 & 10 & 71 & -7 & {} & {} & {} & {} \\
\hline
\end{array}
$$
اثبات:
$u\mathop \equiv \limits^d {10^{ - 1}}$
$ \overline {{a_k}.....{a_0}} \mathop \equiv \limits^d 0$
$ \Leftrightarrow 10(\overline {{a_k}.....{a_1}} ) + \overline {{a_0}} \mathop \equiv \limits^d 0$
$ \Leftrightarrow 10u(\overline {{a_k}.....{a_1}} ) + u(\overline {{a_0}} )\mathop \equiv \limits^d 0$
$ \Leftrightarrow \overline {{a_k}.....{a_1}} {\rm{ + u(}}\overline {{{\rm{a}}_0}} {\rm{)}}\mathop \equiv \limits^d 0$
$v\mathop \equiv \limits^d {100^{ - 1}}$
$\overline {{a_k}.....{a_0}} \mathop \equiv \limits^d 0$
$ \Leftrightarrow 100(\overline {{a_k}.....{a_2}} ) + \overline {{a_1}{a_0}} \mathop \equiv \limits^d 0$
$ \Leftrightarrow 100v(\overline {{a_k}.....{a_2}} ) + v(\overline {{a_1}{a_0}} )\mathop \equiv \limits^d 0$
$ \Leftrightarrow \overline {{a_k}.....{a_2}} {\rm{ + v(}}\overline {{{\rm{a}}_1}{{\rm{a}}_0}} {\rm{)}}\mathop \equiv \limits^d 0$
مثال: چون
$ - 9\mathop \equiv \limits^{13} {10^{ - 1}}$
، برای
$283777$
داریم:
$28377 + ( - 9 \times 7) = 28314$
$2831 + ( - 9 \times 4) = 2795$
$279 + ( - 9 \times 5) = 234$
$23 + ( - 9 \times 4) = - 13$
برای علاقه مندان قابل ذکر است که کلیه قواعد بخشپذیری بر اعداد اول مختوم به
$1, 3, 7, 9$
، از
$1$
تا
$1000$
در مقاله زیر براساس همین روش تولید شده است.
https://arxiv.org/pdf/math/0001012
ضمناً در کتابهای زیر از این روش بنام روش ایجاد تماس (osculation) نام برده شده. (برای مطالعه علاقمندان)
High Speed Calculations-Rajnish Kumar-2006 (pages:75-81)
Gaurav Tekriwal - Maths Sutra_ The Art of Vedic Speed Calculation (2015, Penguin Books India) - pages(96-104)
این روش با تمام زیبایی و قدرتش برخلاف سایر روشها، قادر به ارائه باقیمانده تقسیم نیست و فقط بخشپذیری یا بخش ناپذیری را نشان میدهد و برای بخشپذیری بر توانهای اعداد اول 2 و 5 راه حلی ندارد.
۵- روش برش از چپ:
فرض کنید
$d$
مشخص است و
$h\mathop \equiv \limits^d 100$
، و می نویسیم
$\overline {a = {a_k}.....{a_0}} $
. فرض کنید
$a'$
عددی است که از محاسبه
${a_k} \times h$
و افزودن آن به
$\overline {{a_{k - 1}}.....|{a_0}} $
نتیجه میشود بطوریکه رقم یکان
${a_k} \times h$
با
${a_{k - 2}}$
هم ردیف شود. آنگاه
$a\mathop \equiv \limits^d a'$
؛ بخصوص اینکه
$a$
بر
$d$
بخشپذیر است اگر و فقط اگر
$a'$
بر
$d$
بخشپذیر باشد. جدول زیر
$h$
های مناسب مرتبط با
$d$
را فهرست کرده است.
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
d&100\overset{d}{\mathop{\equiv }}\,h&d&100\overset{d}{\mathop{\equiv}}\,h&d&100\overset{d}{\mathop{\equiv}}\,h\\
\hline
7 & 2 & 34 & -2 & 53 & -6 \\
\hline
13 & -4 & 35 & -5 & 95 & 5 \\
\hline
14 & 2 & 48 & 4 & 96 & 4 \\
\hline
19 & 5 & 49 & 2 & 97 & 3 \\
\hline
21 & -5 & 51 & -2 & 98 & 2 \\
\hline
32 & 4 & 52 & -4 & 98 & 2 \\
\hline
33 & 1 & {} & {} & {} & {} \\
\hline
\end{array}
$$
اثبات: فرض کنید
$d$
مشخص است. می نویسیم
$\overline {a = {a_k}.....{a_0}} $
و فرض می کنیم
$k \ge 2$
. اگر
$100\mathop \equiv \limits^d h$
، آنگاه:
$a = \overline {{a_k}.....{a_0}} = {a_k}({10^k}) + \overline {{a_{k - 1}}.....{a_0}} \mathop \equiv \limits^d {a_k} \times h \times ({10^{k - 2}}) + \overline {{a_{k - 1}}.....{a_0}} $
مثال: چون
$100\mathop \equiv \limits^{97} 3$
، برای
$21437$
داریم:
$$
\begin{array}{ccccc}
\require{cancel}\cancel{2}&1&4&3&7\\
{}&+&6&{}&{}\\
{}&\require{cancel}\cancel{2}&0&3&7\\
{}&{}&+&6&{}\\
{}&{}&{}&9&7\\
\end{array}
$$
۶- روش تجزیه به عوامل اول:این روش چیز زیادی برای گفتن ندارد زیرا حتی برای دبستانیها هم قابل درک است که عدد بخشپذیر بر
$6$
بر
$2,3$
نیز بخشپذیر است. بنابراین بخاطر صرفه جویی در فضای بلاگ از ذکر آن خودداری شده است. مطالب این بخش در مرجع آخر بلاگ ذکر شده است.پیشرفت آخر اینکه مقاله زیر این مبحث را به موضوع مبنای شمارش اعداد کشانده و همه مشکلات این موضوع را طبق ادعای نویسندگانش حل کرده است.
(https://arxiv.org/pdf/1401.5486)[divisibility criteria]
[مرجع تلخیص و ترجمه شده:]
(https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://webspace.ship.edu/msrenault/divisibility/StupidDivisibilityTricks.pdf&ved=2ahUKEwiOgP33hoTwAhXRPsAKHTEICLcQFjARegQIFBAC&usg=AOvVaw1XKxkI1YsFCRCB2k3tX57q)
