به نام خدا
در ریاضیات دنبالههای عددی معروفِ زیادی وجود دارد. بعضی از دنبالهها در ریاضیات، دارای دور تکرار هستند، که به آنها دنبالههای دورهای میگویند. مثل دنبالههای زیر:
$$1,3,1,3,1,3,1,3,...$$
$$-1,4,-1,4-1,4,-1,4,...$$
$$1,3,5,1,3,5,1,3,5,1,3,5,...$$
برای بهدست آوردن جملۀ عمومی این دنبالهها و یا دنبالههای دیگری به این شکل، روش و فرمولهای خاصی وجود دارد.
روش بهدست آوردن جملۀ عمومی برای دنبالههای دورهای با طول دورۀ 2:
به دنبالهای با شکل جملات زیر، دنبالهای دورهای با طول دورۀ 2 میگویند ($x$ و $y$ هر عددی میتوانند باشند و جملات دنباله هستند):
$$x,y,x,y,x,y,x,y,...$$
جملۀ عمومی این دنباله برابر است با ($a_n$ نماد جملۀ عمومی است):
$$a_n= \frac{(x+y)+((y-x)(-1)^n)}{2} $$
اکنون شاید برایتان سؤال شود که این جملۀ عمومی چگونه بهدست آمدهاست؟
یکی از روشهایی که این جملۀ عمومی از آن بهدست آمدهاست، حل رابطۀ بازگشتی آن میباشد. رابطۀ بازگشتی این دنباله برابر است با:
$$a_n=a_{n-2},(a_1=x,a_2=y)$$
که با حل این رابطۀ بازگشتی (نوشتن رابطۀ بازگشتی بهصورت یک ضابطۀ نابازگشتی) جملۀ عمومیای که در بالا دیدید بهدست میآید (روش حل رابطۀ بازگشتی را میتوانید در این لینک از همین سایت ببینید).
مثال: جملۀ عمومی دنبالۀ زیر را بهدست آورید:
$$-1,2,-1,2-1,2,-1,2,...$$
با قرار دادن اعداد $-1$ و $2$ بهترتیب بجای $x$ و $y$ در فرمول بالا ($a_n= \frac{(x+y)+((y-x)(-1)^n)}{2}$) جملۀ عمومی دنبالۀ مورد نظر ما بهدست میآید:
$$a_n= \frac{(-1+2)+((2-(-1))(-1)^n)}{2}= \frac{1+3(-1)^n}{2} $$
پس جملۀ عمومی دنبالۀ $-1,2,-1,2-1,2,-1,2,...$ برابر میشود با: $\frac{1+3(-1)^n}{2}$
روش بهدست آوردن جملۀ عمومی برای دنبالههای دورهای با طول دورۀ 3:
به دنبالهای با شکل جملات زیر، دنبالهای دورهای با طول دورۀ 3 میگویند ($x$، $y$ و $z$ هر عددی میتوانند باشند و جملات دنباله هستند):
$$x,y,z,x,y,z,x,y,z,x,y,z,...$$
باز هم با حل یک رابطۀ بازگشتی، میتوان جملۀ عمومی این دنباله را بهدست آورد. رابطۀ بازگشتی این دنباله برابر است با:
$$a_n=a_{n-3},(a_1=x,a_2=y,a_3=z)$$
که در اینجا بهدلیل طولانی بودن جملۀ عمومی آن و طولانی نشدن مطلب، آن را نمینویسیم، اما خودتان میتوانید با حل رابطۀ بازگشتیِ $a_n=a_{n-3},a_1=x,a_2=y,a_3=z$ جملۀ عمومی آن را بهدست آورید (باز هم تأکید میکنم که میتوانید روش حل رابطۀ بازگشتی را در این لینک از همین سایت ببینید).
در حالت کلی رابطۀ بازگشتی دنبالههای دورهای با طول دورۀ $k$ برابر است با:
$$a_n=a_{n-k},(a_1=a_1,a_2=a_2,...)$$
