به نام خدا
مجموع ارقام یک عدد طبیعی مثل $n$، برابر است با:
$$-9 \cdot\sum_{i=1}^{\left \lfloor {\log_{10}^n} \right \rfloor} \left \lfloor {\frac{n}{10^i}} \right \rfloor +n$$
در این مطلب میخواهم این فرمول را اثبات کنم و ببینیم که اصلاً این فرمول چگونه بهدست آمدهاست؟
اثبات:
باقیماندهٔ تقسیم یک عدد مانند $a$ بر یک عدد دیگر مانند $b$، برابر است با: $a-b\left \lfloor {\frac{a}{b}} \right \rfloor$. که یک کاربردش ایناست که رقم یکان یک عدد مانند $n$ برابر است با: $n-10\left \lfloor {\frac{n}{10}} \right \rfloor$. از همین ایده میتوانیم استفاده کنیم و هر رقم دلخواهی را از هر عددی بیرون بکشیم. برای نمونه در عدد $123$ رقم دهگان برابر است با: $\left \lfloor {\frac{123}{10}} \right \rfloor-10\left \lfloor {\frac{123}{100}} \right \rfloor$؛ چون $n-10\left \lfloor {\frac{n}{10}} \right \rfloor$ یک رقم سمت راست میشود و $n-100\left \lfloor {\frac{n}{100}} \right \rfloor$ دو رقم سمت راست میشود. تفاضل این دو میشود دو رقم سمت راست که رقم آخر از سمت راست صفر شدهاست و از نظر سادهسازی عبارتها داریم:
$$ \Big(n-100 \left \lfloor \frac{n}{100} \right \rfloor \Big)- \Big(n-10 \left \lfloor \frac{n}{10} \right \rfloor \Big)=10 \left \lfloor \frac{n}{10} \right \rfloor -100 \left \lfloor \frac{n}{100} \right \rfloor$$
برای رها شدن از صفر اضافی و تنها داشتن رقم دوم از سمت راست، کافیاست یک تقسیم بر ۱۰ نیز بیفزائیم، پس داریم:
$$\left \lfloor \frac{n}{10} \right \rfloor -10\left \lfloor \frac{n}{100} \right \rfloor$$
که در بالا به جای $n$ گذاشتهبودیم $123$. به هر حال برای هر رقمی به روش مشابه باید سریع به ذهنتان برسد که ریتم یکسانی هم دارد. پس در کل جمع رقمهای عدد $n$ به شکل زیر نیز نوشته میشود:
$$\left \lfloor \frac{n}{10^{ \left \lfloor \log_{10}^n \right \rfloor }} \right \rfloor + \Big(\sum_{i=1}^{ \left \lfloor \log_{10}^{n} \right \rfloor -1} \big( \left \lfloor \frac{n}{10^i} \right \rfloor -10 \left \lfloor \frac{n}{10^{i+1}} \right \rfloor \big) \Big)+ \Big(n-10 \left \lfloor \frac{n}{10} \right \rfloor \Big)$$
که بهعبارت زیر ساده میشود:
$$-9 \cdot\sum_{i=1}^{\left \lfloor {\log_{10}^n} \right \rfloor} \left \lfloor {\frac{n}{10^i}} \right \rfloor +n$$
البته در آخر باید ذکر کنم که من این اثبات را از پاسخ آقای دکتر @AmirHosein در این لینک برداشتهام.
