به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
ارسال شده ۲۶ اردیبهشت ۱۴۰۰ در مطالب ریاضی توسط Math.Al (390 امتیاز) 26 بازدید

به نام خدا

مجموع ارقام یک عدد طبیعی مثل $n$، برابر است با:

$$-9 \cdot\sum_{i=1}^{\left \lfloor {\log_{10}^n} \right \rfloor} \left \lfloor {\frac{n}{10^i}} \right \rfloor +n$$

در این مطلب می‌خواهم این فرمول را اثبات کنم و ببینیم که اصلاً این فرمول چگونه به‌دست آمده‌است؟

اثبات:

باقیماندهٔ تقسیم یک عدد مانند $a$ بر یک عدد دیگر مانند $b$، برابر است با: $a-b\left \lfloor {\frac{a}{b}} \right \rfloor$. که یک کاربردش این‌است که رقم یکان یک عدد مانند $n$ برابر است با: $n-10\left \lfloor {\frac{n}{10}} \right \rfloor$. از همین ایده می‌توانیم استفاده کنیم و هر رقم دلخواهی را از هر عددی بیرون بکشیم. برای نمونه در عدد $123$ رقم دهگان برابر است با: $\left \lfloor {\frac{123}{10}} \right \rfloor-10\left \lfloor {\frac{123}{100}} \right \rfloor$؛ چون $n-10\left \lfloor {\frac{n}{10}} \right \rfloor$ یک رقم سمت راست می‌شود و $n-100\left \lfloor {\frac{n}{100}} \right \rfloor$ دو رقم سمت راست می‌شود. تفاضل این دو می‌شود دو رقم سمت راست که رقم آخر از سمت راست صفر شده‌است و از نظر ساده‌سازی عبارت‌ها داریم:

$$ \Big(n-100 \left \lfloor \frac{n}{100} \right \rfloor \Big)- \Big(n-10 \left \lfloor \frac{n}{10} \right \rfloor \Big)=10 \left \lfloor \frac{n}{10} \right \rfloor -100 \left \lfloor \frac{n}{100} \right \rfloor$$

برای رها شدن از صفر اضافی و تنها داشتن رقم دوم از سمت راست، کافی‌است یک تقسیم بر ۱۰ نیز بیفزائیم، پس داریم:

$$\left \lfloor \frac{n}{10} \right \rfloor -10\left \lfloor \frac{n}{100} \right \rfloor$$

که در بالا به جای $n$ گذاشته‌بودیم $123$. به هر حال برای هر رقمی به روش مشابه باید سریع به ذهن‌تان برسد که ریتم یکسانی هم دارد. پس در کل جمع رقم‌های عدد $n$ به شکل زیر نیز نوشته می‌شود:

$$\left \lfloor \frac{n}{10^{ \left \lfloor \log_{10}^n \right \rfloor }} \right \rfloor + \Big(\sum_{i=1}^{ \left \lfloor \log_{10}^{n} \right \rfloor -1} \big( \left \lfloor \frac{n}{10^i} \right \rfloor -10 \left \lfloor \frac{n}{10^{i+1}} \right \rfloor \big) \Big)+ \Big(n-10 \left \lfloor \frac{n}{10} \right \rfloor \Big)$$

که به‌عبارت زیر ساده می‌شود:

$$-9 \cdot\sum_{i=1}^{\left \lfloor {\log_{10}^n} \right \rfloor} \left \lfloor {\frac{n}{10^i}} \right \rfloor +n$$

البته در آخر باید ذکر کنم که من این اثبات را از پاسخ آقای دکتر @AmirHosein در این لینک برداشته‌ام.

امیدوارم لذت برده باشید.

دارای دیدگاه ۲۶ اردیبهشت ۱۴۰۰ توسط ناصر آهنگرپور (743 امتیاز)
بسیار عالی و آموزنده بود. پاسخ زیبای دکتر @AmirHosein در لینک فوق نیز جای تشکر دارد که در اینجا کارساز بود.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...