ویژگی های چهارضلعی محاطی

Question

می دانیم که چهار ضلعی محاطی است اگر و تنها اگر عمود منصف اضلاع آن در یک نقطه همرس باشند.

در شکل بالا $E$ محل برخورد قطرهای $AC$ و $BD$ و $F$ محل برخورد امتداد اضلاع $AB$ و $CD$ است.

حال ویژگی‌های چهارضلعی محاطی را بیان می‌کنیم:

1. چهارضلعی محاطی است اگر و تنها اگر جمع دو زاویه رو به رو برابر $180°$ باشد.

2. چهارضلعی محاطی است اگر و تنها اگر $ \angle CAD= \angle DBC$ (همینطور برای زاویه های مشابه)

3. چهارضلعی محاطی است اگر و تنها اگر $AE×CE=BE×DE$

4. چهارضلعی محاطی است اگر و تنها اگر $BF×AF=CF×DF$

5. چهارضلعی محاطی است اگر و تنها اگر $AC×BD=AB×CD+AD×BC$

ویژگی شماره 5 از قضیه بطلمیوس گرفته شده است:

قضیه بطلمیوس: در چهارضلعی دلخواه $ABCD$ همواره داریم:

$AB×CD+AD×BC \geq AC×BD$

و تساوی هنگامی برقرار است که چهارضلعی محاطی باشد.