به نام خدا
دنبالۀ هندسی نوعی از دنباله در ریاضیات است که در آن هر جمله به وسیلۀ ضرب یک عدد ثابت در جملۀ قبلی به دست میآید. بهاین عدد ثابت قدر نسبت میگویند. اگر حاصلجمع $n$ جملۀ اول دنباله را با $s_n$، حاصلضرب $n$ جملۀ اول را با $p_n$، جملۀ اول را با $a_1$ و قدر نسبت دنباله را با $q$ نمایشدهیم، حاصلجمع و حاصلضرب $n$ جملۀ اول یک دنبالۀ هندسی، از طریق فرمولهای زیر بهدست میآید:
$$s_n=a_1 \cdot \frac{(q^n-1)}{(q-1)} $$
$$p_n=( \sqrt{a_1 \cdot a_n} )^n$$
در این مطلب میخواهم به اثبات این دو فرمول بپردازم.
اثبات فرمول محاسبۀ حاصلجمع جملات یک دنبالۀ هندسی:
در یک دنبالۀ هندسی، فرم جملات دنباله بهصورت زیر است:
$$a_1,a_1q,a_1q^2,a_1q^3,a_1q^4,...,a_1q^{n-1}$$
حاصلجمع $n$ جملۀ اول را هم بهصورت زیر میتوانیم بنویسیم:
$$s_n=a_1+a_1q+a_1q^2+a_1q^3+a_1q^4+...+a_1q^{n-1}$$
حالا طرفین تساوی را در $q$ (قدر نسبت) ضرب میکنیم:
$$s_nq=a_1q+a_1q^2+a_1q^3+a_1q^4+a_1q^5+...+a_1q^n$$
سپس این دو تساوی را از هم کم میکنیم، نتیجه بهاین شکل میشود:
$$s_n-s_nq=a_1-a_1q^n$$
و بعد از سمت چپ و راست تساوی فاکتورگیری میکنیم:
$$s_n(1-q)=a_1(1-q^n)$$
حالا طرفین تساوی را بر $(1-q)$ تقسیم میکنیم:
$$s_n=a_1 \cdot \frac{(1-q^n)}{(1-q)}=a_1 \cdot \frac{(q^n-1)}{(q-1)}$$
اثبات بهپایان رسید.
اثبات فرمول محاسبۀ حاصلضرب جملات یک دنبالۀ هندسی:
در یک دنبالۀ هندسی، حاصلضرب $n$ جملۀ اول را بهصورت زیر میتوانیم بنویسیم ($a_1$ تا $a_n$ جملات اول تا $n$ام دنباله هستند):
$$p_n=a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 \cdot a_5 \cdot ... \cdot a_{n-2} \cdot a_{n-1} \cdot a_n$$
طرفین تساوی را بهتوان دو میرسانیم:
$$p_n^2=(a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 \cdot a_5 \cdot ... \cdot a_{n-2} \cdot a_{n-1} \cdot a_n)^2 \Rightarrow p_n^2=(a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 \cdot a_5 \cdot ... \cdot a_{n-2} \cdot a_{n-1} \cdot a_n)(a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 \cdot a_5 \cdot ... \cdot a_{n-2} \cdot a_{n-1} \cdot a_n)$$
چون ضرب خاصیت جابجایی دارد، میتوانیم تساوی را بهصورت زیر بنویسیم:
$$p_n^2=(a_1 \cdot a_n)(a_2 \cdot a_{n-1})(a_3 \cdot a_{n-2}) \cdot ... \cdot (a_n \cdot a_1)$$
تمام پرانتزهای سمت راست تساوی، برابر با $(a_1 \cdot a_n)$ هستند. پس داریم:
$$p_n^2=(a_1 \cdot a_n)^n \Rightarrow p_n=\sqrt{(a_1 \cdot a_n)^n}=( \sqrt{a_1 \cdot a_n} )^n$$
اثبات بهپایان رسید.
