برخی از اعداد اول را می‌توان به‌صورت ضرب دو عدد مختلط نوشت!

Question

به نام خدا

در واقع اگر خود را به اعداد شمارش‌پذیر محدود کنیم، عددی مثل عدد $5$، اول است و اول باقی خواهد ماند. اما کارل فریدریش گاوس، به کشفی فراتر از این رسید. اینکه برخی از اعداد اول مثل $5$ را می‌توان به‌صورت ضرب دو عدد مختلط نوشت:

$$5=(1+2i)(1-2i)$$

یا مثلاً عدد اول دیگری مثل عدد $17$ را می‌توان به‌این شکل نوشت:

$$17=(1+4i)(1-4i)$$

با کمی دقت می‌توان فهمید که برای این کار از اتحاد مزدوج استفاده شده‌است و اگر عدد اولی به‌این شکل قابل نوشتن باشد، نوشتن آن به‌این صورت با استفاده از اتحاد مزدوج، کار پیچیده و سختی نخواهد بود.

Comments

@Math.Al : مطالب خوبی که در اختیار کاربران قرار میدهید، قابل تقدیر است. در تکمیل این موضوع بد ندیدم که مطالب مطالعه شده خود را نیز در اختیار دوستان قرار دهم. فرما ثابت کرده بود که هر عدد اول بشکل

$1)p=4n+1$

را میتوان بصورت مجموع دو مربع کامل زیر نوشت.
 
$2)p=a^{2}+b^{2}$

نه تنها اعداد اول بشکل $2$، بلکه همه اعداد طبیعی بشکل $2$ را میتوان بصورت زیر نوشت.

$N=a^2+b^2=(a-bi)(a+bi)=(b-ai)(b+ai)$

مثال:

$13=4×3+1 \Longrightarrow 13=2^{2}+3^{2} \Longrightarrow 13=(2-3i)(2+3i)=(3-2i)(3+2i)$

$20=2^2+4^2 \Longrightarrow 20=(2-4i)(2+4i)=(4-2i)(4+2i)$

با سپاس از مطالب خوبتان و آرزوی موفقیت و تندرستی.