با سلام.
عدد حقیقی $ A$ مفروض است. میدانیم می توان به بیشمار حالت این عدد را به صورت حاصل جمع دو عدد حقیقی دیگر مثل $a,b$ نوشت. مسئله این است در چه حالتی حاصل $a×b$ بیشترین مقدار است؟
جواب این است که حالتی بیشترین مقدار است که $a=b$ یا به عبارتی دیگر $A=2a=2b$.
اثبات:
با استفاده از اتّحادهای جبری اوّل و دوم میتوان قاعده بالا را اثبات کرد. ابتدا داریم:
$$(a+b) ^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$$
$$(a-b) ^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} $$
حال دو عبارت بالا را از هم کم میکنیم و نتیجه میشود:
\begin{align}
(a+b) ^{2}-(a-b)^2 =4ab & \Longrightarrow ab= \frac{(a+b) ^{2}-(a-b) ^{2}}{4}\\
& \Longrightarrow ab= \frac{(A) ^{2}-(a-b) ^{2}}{4}
\end{align}
برای آنکه حاصل $ab$ بیشترین باشد باید از عبارت مثبت کمترین مقدار ممکن کم شود که کمترین مقدار ممکن صفر است. پس:
$$(a-b) ^{2}=0 \Longrightarrow a=b$$
مثال: مستطیلی به اضلاع $a,b$ داریم. مستطیلهایی هم محیط با مستطیل اوّلیه ساختهایم. مستطیلی که بیشترین مساحت را دارد چه ویژگی دارد؟
پاسخ: با توجّه به آنکه مقدار محیط یا $P$ ثابت است و با توجّه به نکات بالا باید مربعی بسازیم که اندازهٔ هر ضلع آن $ \frac{P}{4} $ یا به عبارتی دیگر $ \frac{2(a+b)}{4}= \frac{a+b}{2} $ باشد.
