به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
ارسال شده 4 روز قبل در مطالب ریاضی توسط mmvf20041383 (87 امتیاز)
ویرایش شده 1 روز قبل توسط AmirHosein
15 بازدید

با سلام.

عدد حقیقی $ A$ مفروض است. می‌دانیم می توان به بیشمار حالت این عدد را به صورت حاصل جمع دو عدد حقیقی دیگر مثل $a,b$ نوشت. مسئله این است در چه حالتی حاصل $a×b$ بیشترین مقدار است؟

جواب این است که حالتی بیشترین مقدار است که $a=b$ یا به عبارتی دیگر $A=2a=2b$.

اثبات:

با استفاده از اتّحادهای جبری اوّل و دوم می‌توان قاعده بالا را اثبات کرد. ابتدا داریم:

$$(a+b) ^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$$ $$(a-b) ^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} $$

حال دو عبارت بالا را از هم کم می‌کنیم و نتیجه می‌شود:

\begin{align} (a+b) ^{2}-(a-b)^2 =4ab & \Longrightarrow ab= \frac{(a+b) ^{2}-(a-b) ^{2}}{4}\\ & \Longrightarrow ab= \frac{(A) ^{2}-(a-b) ^{2}}{4} \end{align}

برای آنکه حاصل $ab$ بیشترین باشد باید از عبارت مثبت کمترین مقدار ممکن کم شود که کمترین مقدار ممکن صفر است. پس:

$$(a-b) ^{2}=0 \Longrightarrow a=b$$

مثال: مستطیلی به اضلاع $a,b$ داریم. مستطیل‌هایی هم محیط با مستطیل اوّلیه ساخته‌ایم. مستطیلی که بیشترین مساحت را دارد چه ویژگی دارد؟

پاسخ: با توجّه به آنکه مقدار محیط یا $P$ ثابت است و با توجّه به نکات بالا باید مربعی بسازیم که اندازهٔ هر ضلع آن $ \frac{P}{4} $ یا به عبارتی دیگر $ \frac{2(a+b)}{4}= \frac{a+b}{2} $ باشد.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...