به نام خدا
اولین عدد اول بهاضافهٔ ۱، برابر با یک عدد اول است:
$2+1=3$
و همچنین دو عدد اول نخست که $2$ و $3$ هستند نیز حاصل ضربشان بهاضافهٔ ۱، اول است:
$2 \cdot 3+1=7$
به همین ترتیب:
$2 \cdot 3 \cdot 5+1=31$
$2 \cdot 3 \cdot5 \cdot7+1=211$
$2\cdot 3 \cdot5\cdot 7\cdot 11+1=2311$
همگی اول هستند. پس شاید بتوان نتیجه گرفت که حاصل ضرب هر چند عدد اول نخست بهاضافهٔ ۱، همیشه برابر با عددی اول است. اما فقط یک مثال دیگر لازم است تا متوجه بشویم که نتیجهای که گرفتیم درست نیست و برای همهٔ اعداد اول صدق نمیکند.
$2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13+1=30031$
به یک مثال نقض رسیدیم. در واقع 30031 بهصورت $59\cdot 509$ تجزیه میشود که یعنی بر ۵۹ و ۵۰۹ بخشپذیر است و در نتیجه اول نیست. بعضی از مسائل در ریاضیات اینگونه هستند، پس از چندین مثال، درست بهنظر میرسند و ممکن است مطمئن بشویم که واقعاً درست هستند، اما با یک مثال نقض، میفهمیم که اصلاً درست نبودهاند!
اما اگر پس از بررسیهای فراوان نتوانستیم مثال نقضی برای یک مسئله در ریاضیات پیدا کنیم، انتظار میرود که درست باشد. در این صورت آن را با یکی از روشهای اثبات در ریاضیات مثل اثبات مستقیم یا برهان خلف، میتوان اثبات کرد.
