به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
ارسال شده ۲۰ دی ۱۴۰۰ در مطالب ریاضی توسط A-math-lover (664 امتیاز) 116 بازدید

برهان عکس نقیض یکی از روش‌های اثبات در ریاضیات است که از این واقعیت استفاده می‌کند که عکس نقیض یک گزاره، از نظر منطقی با خود آن گزاره هم‌ارز است. عکس نقیض گزارۀ شرطی $p\to q$، گزارۀ $\sim q \to \sim p$ است که با خود گزارۀ اصلی هم‌ارز است.

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & p\to q & \sim q \to \sim p\\ \hline \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T} \\ \hline \text{T} & \text{F} & \text{F} & \text{F}\\ \hline \text{F} & \text{T} & \text{T} & \text{T} \\ \hline \text{F} & \text{F} & \text{T} & \text{T} \\ \hline \end{array}$$

مثلاً، برای اثبات یک گزاره مانند $p\to q$ با برهان عکس نقیض، ابتدا باید عکس نقیض گزاره را بنویسیم و بعد آن را اثبات کنیم. بعد از اینکه اثبات عکس نقیض گزاره انجام شد، می‌توانیم نتیجه بگیریم که خود گزاره نیز درست بوده‌است و اثبات شده‌است؛ زیرا همانطور که گفتیم و در جدول ارزش بالا نیز دیدید، یک گزاره با عکس نقیضش، هم‌ارز است.


مثال 1:

ثابت کنید که اگر $x^2$ زوج باشد، $x$ نیز زوج است ($x\in \mathbb{Z}$).

ابتدا باید عکس نقیض گزاره را بنویسیم. عکس نقیض آن به‌این صورت می‌شود: اگر $x$ فرد باشد، $x^2$ نیز فرد است.

اثبات آن به‌راحتی انجام می‌شود. اگر $x$ فرد باشد، باید بتوان آن را به‌صورت $2k+1$ نوشت ($k\in \mathbb{Z}$). پس: $x=2k+1$. سپس $x$ را به‌توان دو می‌رسانیم:

$$x^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1=2n+1,(n=2k^2+2k)$$

همانطور که دیدید، $x^2$ نیز فرد شد. پس توانستیم درستی عکس نقیض حکم اصلی را اثبات کنیم. پس در نتیجه، خود حکم اصلی نیز درست بوده‌است و در واقع درستی آن نیز اثبات شد.

مثال 2:

ثابت کنید که اگر $y^2$ فرد باشد، $y$ نیز فرد است ($y\in \mathbb{Z}$).

ابتدا باید عکس نقیض گزاره را بنویسیم. عکس نقیض آن به‌این صورت می‌شود: اگر $y$ زوج باشد، $y^2$ نیز زوج است.

اثبات آن به‌راحتی انجام می‌شود. اگر $y$ زوج باشد، باید بتوان آن را به‌صورت $2m$ نوشت ($m\in \mathbb{Z}$). پس: $y=2m$. سپس $y$ را به‌توان دو می‌رسانیم:

$$y^2=(2m)^2=4m^2=2(2m^2)=2t,(t=2m^2)$$

همانطور که دیدید، $y^2$ نیز زوج شد. پس توانستیم درستی عکس نقیض حکم اصلی را اثبات کنیم. پس در نتیجه، خود حکم اصلی نیز درست بوده‌است و در واقع درستی آن نیز اثبات شد.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...