برهان عکس نقیض یکی از روش‌های اثبات در ریاضیات است که از این واقعیت استفاده می‌کند که عکس نقیض یک گزاره، از نظر منطقی با خود آن گزاره هم‌ارز است. عکس نقیض گزارۀ شرطی $p\to q$، گزارۀ $\sim q \to \sim p$ است که با خود گزارۀ اصلی هم‌ارز است.
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
p & q & p\to q & \sim q \to \sim p\\ \hline
\text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T} \\ \hline
\text{T} & \text{F} & \text{F} & \text{F}\\ \hline
\text{F} & \text{T} & \text{T} & \text{T} \\ \hline
\text{F} & \text{F} & \text{T} & \text{T} \\ \hline
\end{array}$$
مثلاً، برای اثبات یک گزاره مانند $p\to q$ با برهان عکس نقیض، ابتدا باید عکس نقیض گزاره را بنویسیم و بعد آن را اثبات کنیم. بعد از اینکه اثبات عکس نقیض گزاره انجام شد، می‌توانیم نتیجه بگیریم که خود گزاره نیز درست بوده‌است و اثبات شده‌است؛ زیرا همانطور که گفتیم و در جدول ارزش بالا نیز دیدید، یک گزاره با عکس نقیضش، هم‌ارز است.
مثال 1:
ثابت کنید که اگر $x^2$ زوج باشد، $x$ نیز زوج است ($x\in \mathbb{Z}$).
ابتدا باید عکس نقیض گزاره را بنویسیم. عکس نقیض آن به‌این صورت می‌شود: اگر $x$ فرد باشد، $x^2$ نیز فرد است.
اثبات آن به‌راحتی انجام می‌شود. اگر $x$ فرد باشد، باید بتوان آن را به‌صورت $2k+1$ نوشت ($k\in \mathbb{Z}$). پس: $x=2k+1$. سپس $x$ را به‌توان دو می‌رسانیم:
$$x^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1=2n+1,(n=2k^2+2k)$$
همانطور که دیدید، $x^2$ نیز فرد شد. پس توانستیم درستی عکس نقیض حکم اصلی را اثبات کنیم. پس در نتیجه، خود حکم اصلی نیز درست بوده‌است و در واقع درستی آن نیز اثبات شد.
مثال 2:
ثابت کنید که اگر $y^2$ فرد باشد، $y$ نیز فرد است ($y\in \mathbb{Z}$).
ابتدا باید عکس نقیض گزاره را بنویسیم. عکس نقیض آن به‌این صورت می‌شود: اگر $y$ زوج باشد، $y^2$ نیز زوج است.
اثبات آن به‌راحتی انجام می‌شود. اگر $y$ زوج باشد، باید بتوان آن را به‌صورت $2m$ نوشت ($m\in \mathbb{Z}$). پس: $y=2m$. سپس $y$ را به‌توان دو می‌رسانیم:
$$y^2=(2m)^2=4m^2=2(2m^2)=2t,(t=2m^2)$$
همانطور که دیدید، $y^2$ نیز زوج شد. پس توانستیم درستی عکس نقیض حکم اصلی را اثبات کنیم. پس در نتیجه، خود حکم اصلی نیز درست بوده‌است و در واقع درستی آن نیز اثبات شد.
