به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
ارسال شده ۳ اسفند ۱۴۰۰ در مطالب ریاضی توسط Math.Al (1,395 امتیاز)
ویرایش شده ۴ اسفند ۱۴۰۰ توسط Math.Al
96 بازدید

به نام خدا

همانطور که می‌دانید، یکی از قضایای مهم در ریاضیات، قضیۀ فیثاغورس است. قضیۀ فیثاغورس بیان می‌کند که در هر مثلث قائم‌الزاویه، مربع اندازۀ ضلع وتر، برابر است با مجموع مربعات اندازۀ دو ضلع دیگر. اثبات‌های زیادی برای این قضیه آورده شده‌است که در این مطلب می‌توانید یکی از کوتاه‌ترین و زیباترین این اثبات‌ها را ببینید.

ابتدا مثلث قائم‌الزاویۀ زیر را در نظر بگیرید:

توضیحات تصویر

در واقع باید اثبات کنیم که $a^2+b^2=c^2$.

مربعی رسم می‌کنیم و بعد نقاط $MNPQ$ را به یکدیگر متصل می‌کنیم تا یک چهار ضلعی درون مربع تشکیل شود:

توضیحات تصویر

چهار مثلث قائم‌الزاویۀ تشکیل شده در مربع $DEFG$، باهم به حالت ض‌زض (دو ضلع و یک زاویۀ بین) هم‌نهشت‌اند؛ پس اضلاع چهار ضلعی $MNPQ$، باهم برابرند و همچنین می‌توان به‌راحتی اثبات کرد که $MNPQ$، یک مربع نیز است؛ برای اینکار باید ثابت کنیم که تمام زاویه‌های آن، $90^{\circ}$ هستند:

$$P\widehat{N}F+F\widehat{P}N+\widehat{F}={180}^{\circ}$$ $$M\widehat{N}E+P\widehat{N}M+P\widehat{N}F={180}^{\circ}$$ $$ \require{cancel} \Rightarrow \cancel{P\widehat{N}F}+F\widehat{P}N+\widehat{F}=M\widehat{N}E+P\widehat{N}M+\cancel{P\widehat{N}F} $$ $$ \Rightarrow \cancel{F\widehat{P}N}+90^{\circ}=\cancel{M\widehat{N}E}+P\widehat{N}M $$ $$\Rightarrow P\widehat{N}M={90}^{\circ}$$

دقت کنید که چون هر چهار مثلث قائم‌الزاویه با هم، هم‌نهشت هستند و در شکل‌های هم‌نهشت همۀ زاویه‌های متناظر باهم برابرند، پس ${F\widehat{P}N}$ با ${M\widehat{N}E}$ برابر است؛ برای همین آن را از دو طرف تساوی خط زدیم. به همین شکل می‌توان ثابت کرد که بقیۀ زاویه‎‌های $MNPQ$، $90^{\circ}$ هستند.

طول هر ضلع مربع $DEFG$، $a+b$ است؛ بنابراین مساحت این مربع برابر است با:

$$S_{DEFG}=\large (a+b)^2=a^2+b^2+2ab$$

همچنین مربع $DEFG$، در واقع از چهار مثلث قائم‌الزاویۀ هم‌نهشت و یک مربع دیگر تشکیل شده‌است. پس مساحتش را به شکل زیر نیز می‌توان نوشت:

$$S_{DEFG}=\large 4\cdot\bigg(\frac{1}{2}ab\bigg)+c^2=2ab+c^2$$

بنابراین:

$$ \require{cancel} \large a^2+b^2\cancel{+2ab}=\cancel{2ab}+c^2 $$ $$\large\Rightarrow a^2+b^2=c^2$$

پس اثبات به پایان رسید.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...