اثباتی جالب برای گنگ بودن $ \sqrt{2} $:
برهان خلف.فرض کنید $ \sqrt{2} $ گنگ نباشد پس گویا است لذا:
$ \exists m,n \in N:(m,n)=1,m>n, \frac{m}{n} = \sqrt{2}$
از این اطلاعات نتیجه می گیریم که:
$1):m^2=2n^2,n^2<m^2, \frac{m^2}{n^2} =2<4 \Rightarrow n^2<m^2<4n^2 \Rightarrow n<m<2n$
$2): \frac{m}{n} = \frac{2n}{m} = \frac{2n-m}{m-n}$(چرا؟)
از نتیجۀ $2$ داریم:
$n \leq m-n$(چرا؟)$ \Rightarrow 2n \leq m \bot $
$ \Box $
منبع:آنالیز ریاضی دکتر غلامحسین مصاحب جلد اول قسمت $I$ تئوری اعداد حقیقی
