اثباتی جذاب برای گنگ بودن رادیکال 2

Question

اثباتی جالب برای گنگ بودن $ \sqrt{2} $:

برهان خلف.فرض کنید $ \sqrt{2} $ گنگ نباشد پس گویا است لذا:

$ \exists m,n \in N:(m,n)=1,m>n, \frac{m}{n} = \sqrt{2}$

از این اطلاعات نتیجه می گیریم که:

$1):m^2=2n^2,n^2<m^2, \frac{m^2}{n^2} =2<4 \Rightarrow n^2<m^2<4n^2 \Rightarrow n<m<2n$

$2): \frac{m}{n} = \frac{2n}{m} = \frac{2n-m}{m-n}$(چرا؟)

از نتیجۀ $2$ داریم:

$n \leq m-n$(چرا؟)$ \Rightarrow 2n \leq m \bot $

$ \Box $

منبع:آنالیز ریاضی دکتر غلامحسین مصاحب جلد اول قسمت $I$ تئوری اعداد حقیقی