قضیه:
نشان دهید برای هر عدد حقیقی مثبت $a$ و هر عدد طبیعی $n$ معادله $x^n=a$ فقط یک جواب دارد که آن را ریشۀ $n$ام $a$ می نامند.
قضیۀ نقطۀ ثابت knaster:
فرض کنید $(A, \preceq )$ مجموعهای جزئن مرتب و تام (هر زیر مجموعۀ غیر تهی $A$ که دارای کران بالا باشد ، دارای سوپریمم است ) و دارای کوچکترین و بزرگترین عضو باشد و $f:A \longrightarrow A$ تابعی حافظ ترتیب جزئی باشد در اینصورت $f$ دارای نقطۀ ثابت است.
اثبات:(به کمک قضیۀ نقطۀ ثابت knaster):
قرار دهید:
$A:=[0,1+a],f:A \longrightarrow A,f(x)=x+ \frac{a-x^n}{n(1+a)^{n-1}} $
می توان نشان داد $A$ و $f$ شرایط قضیۀ کناستر را دارد (چرا؟) و نقطۀ ثابت همان جواب معادلۀ ماست.یکتایی جواب هم به سادگی قابل اثبات است.
$ \Box $
منبع:آنالیز ریاضی زنده یاد دکتر غلامحسین مصاحب جلد اول تئوری اعداد حقیقی قسمت $II$.
