اثباتی خیلی زیبا از قضیۀ (کانتور-شرودر-برنشتاین)

Question

قضیۀ (کانتور-شرودر-برنشتاین):

اگر برای دو مجموعۀ دلخواه $A$ و $B$ داشته باشیم $A \preceq B$ و $B \preceq A$ آنگاه: $A \cong B$.

اثبات:

بنا به مفروضات توابع یک بیک $f:A \longrightarrow B$ و $g:B \rightarrow A$ وجود دارند.حالا قضیه نقطۀ ثابت کناستر (knaster) رابرای مجموعۀ جزئن مرتب و تام $(P(A), \subseteq )$ که دارای کوچکترین و بزرگترین عضو است و تابع زیر بکار ببرید:

$ \psi :P(A) \rightarrow P(A), \psi (X)=A-g(B-f(X))$

این تابع خوشتعریف و حافظ ترتیب است.(چرا؟) لذا دارای نقطه ثابت است یعنی:

$ \exists X_0 \in P(A): \psi (X_0)=X_0 \Rightarrow B-f(X_0)=g^{-1}(A-X_0)$(چرا؟)

حالا تعریف کنید:

$h:A \longrightarrow B,h(a):=f(a)(a \in X_0),h(a)=g^{-1}(a)(a \in A-X_0)$

این تابع خوشتعریف یک بیک و پوشاست.(چرا؟)

$ \Box $

منبع:آنالیز ریاضی دکتر غلامحسین مصاحب جلد اول قسمت $II$ تئوری اعداد حقیقی