به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
پرسش سوال

اثباتی خیلی زیبا از قضیۀ (کانتور-شرودر-برنشتاین)

ارسال شده مرداد ۵, ۱۴۰۳ در مطالب ریاضی توسط قاسم شبرنگ (4,161 امتیاز)
ویرایش شده دی ۱۱, ۱۴۰۳ توسط قاسم شبرنگ 796 بازدید

قضیۀ (کانتور-شرودر-برنشتاین):

اگر برای دو مجموعۀ دلخواه $A$ و $B$ داشته باشیم $A \preceq B$ و $B \preceq A$ آنگاه: $A \cong B$.

اثبات:

بنا به مفروضات توابع یک بیک $f:A \longrightarrow B$ و $g:B \rightarrow A$ وجود دارند.حالا قضیه نقطۀ ثابت کناستر (knaster) رابرای مجموعۀ جزئن مرتب و تام $(P(A), \subseteq )$ که دارای کوچکترین و بزرگترین عضو است و تابع زیر بکار ببرید:

$ \psi :P(A) \rightarrow P(A), \psi (X)=A-g(B-f(X))$

این تابع خوشتعریف و حافظ ترتیب است.(چرا؟) لذا دارای نقطه ثابت است یعنی:

$ \exists X_0 \in P(A): \psi (X_0)=X_0 \Rightarrow B-f(X_0)=g^{-1}(A-X_0)$(چرا؟)

حالا تعریف کنید:

$h:A \longrightarrow B,h(a):=f(a)(a \in X_0),h(a)=g^{-1}(a)(a \in A-X_0)$

این تابع خوشتعریف یک بیک و پوشاست.(چرا؟)

$ \Box $

منبع:آنالیز ریاضی دکتر غلامحسین مصاحب جلد اول قسمت $II$ تئوری اعداد حقیقی

“ ریاضیدان، کسی است که شباهت ها را بین قضایا دریابد. ریاضیدان بهتر کسی است که بتواند شباهت بین برهان ها را ببیند. بهترین ریاضیدان کسی است که بتواند به شباهت بین نظریه ها توجه کند. و می توان تصور کرد که ریاضیدان نهایی کسی است که بتواند شباهت بین شباهت ها را مشاهده کند.
...