به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
پرسش سوال

جبر-ساختار گروه

ارسال شده مرداد ۵, ۱۴۰۳ در مطالب ریاضی توسط قاسم شبرنگ (4,161 امتیاز) 366 بازدید

یک گروه جالب:

فرض کنید$X$ یک مجموعه دلخواه و $P(X)$ مجموعه توانی $X$ باشد.اگر تعریف کنیم:

$A \oplus B=(A \cup B) - (A \cap B)=(A - B) \cup (B - A)$

آنگاه $(P(X), \oplus )$ یک گروه آبلی با عنصر خنثی $ \emptyset $ است.در این ساختار زیبا هر عضو آن خود توان است یعنی برای هر عضو دلخواه آن مانند $A$ داریم: $A^2= \emptyset $.و لذا معکوس هر عضو خودش است.همچنین درجۀ هر عضو آن (در صورت وجود) به غیر از $ \emptyset $ (که $1$ است) $2$ است.

بستگی به انتخاب $X$ این گروه می تواند متناهی یا نامتناهی باشد.همچنین:

$ \forall A \in P(X):A \oplus A^c=X,A \oplus X=A^c$

$ \Box $

“ ریاضیدان، کسی است که شباهت ها را بین قضایا دریابد. ریاضیدان بهتر کسی است که بتواند شباهت بین برهان ها را ببیند. بهترین ریاضیدان کسی است که بتواند به شباهت بین نظریه ها توجه کند. و می توان تصور کرد که ریاضیدان نهایی کسی است که بتواند شباهت بین شباهت ها را مشاهده کند.
...