یک گروه جالب:
فرض کنید$X$ یک مجموعه دلخواه و $P(X)$ مجموعه توانی $X$ باشد.اگر تعریف کنیم:
$A \oplus B=(A \cup B) - (A \cap B)=(A - B) \cup (B - A)$
آنگاه $(P(X), \oplus )$ یک گروه آبلی با عنصر خنثی $ \emptyset $ است.در این ساختار زیبا هر عضو آن خود توان است یعنی برای هر عضو دلخواه آن مانند $A$ داریم: $A^2= \emptyset $.و لذا معکوس هر عضو خودش است.همچنین درجۀ هر عضو آن (در صورت وجود) به غیر از $ \emptyset $ (که $1$ است) $2$ است.
بستگی به انتخاب $X$ این گروه می تواند متناهی یا نامتناهی باشد.همچنین:
$ \forall A \in P(X):A \oplus A^c=X,A \oplus X=A^c$
$ \Box $
