تابع زیبای لامبرت

Question

تابع زیر را در نظر بگیرید:

$\phi :R \longrightarrow R, \phi (x)=xe^x$

دامنۀ تعریف این تابع $R$ و برد آن $[-e^{-1}, \infty )$ است.

این تابع یک بیک نیست اما اگر دامنه را به

$(- \infty ,-1]$ یا $[-1,+ \infty )$

محدود کنیم و به ترتیب با

$\phi _{-1}$ و $\phi _0$

نشان دهیم یک بیک است و لذا وارون دارد.وارون این تابع زیبا که به تابع $W$-لامبرت مشهور است را به ترتیب با $W_{-1}$ و $W_0$ نشان می دهیم و اگر ابهامی نباشد با $W$.بنابراین:

$D_ {\phi_{-1}} =R_{W_{-1}}=(- \infty ,-1],R_{ \phi _{-1}}=D_{W_{-1}}=[-e^{-1},0) // D_{ \phi _0}=R_{W_0}=[-1,+ \infty ) ,R_{ \phi _0}=D_{W_0}=[-e^{-1},+ \infty )$

حالا می خواهیم مشتق و انتگرال این تابع زیبا را بیابیم:

$1) W= \phi ^{-1} \Rightarrow \forall x \in D_W:\phi (W(x))=x \Rightarrow W(x)e^{W(x)}=x \Rightarrow (W(x)e^{W(x)})'=(x)' \\ W'(x)e^{W(x)}+W'(x)e^{W(x)}W(x)=1 \Rightarrow W'(x)[e^{W(x)}+W(x)e^{W(x)})]=1 \\ W'(x)[e^{W(x)}+x]=1 \Rightarrow W'(x)=[e^{W(x)}+x]^{-1}(?)= \frac{W(x)}{x(1+W(x))},(x \neq 0)$

برای انتگرال از تغییر متغیر $x=ue^u$ استفاده می کنیم:

$$x=ue^u \Rightarrow dx=du.e^u+u.du.e^u,x= \phi (u),u=W(x)$$ $2) \Rightarrow \int W(x)dx= \int W(ue^u)(du.e^u+u.du.e^u)\\ = \int u(du.e^u+u.du.e^u)= \int ue^udu+ \int u^2e^udu=ue^u-e^u+u^2e^u-2ue^u+2e^u+C\\ =u^2e^u-ue^u+e^u+C=u(ue^u)-ue^u+e^u+C=xW(x)+x+e^{W(x)}+C$

چند خواص مهم:

$1):e^{W(Lnx)}= \frac{Lnx}{W(Lnx)} ,x>0$

$2):W(x)=Ln( \frac{x}{Ln \frac{x}{Ln \frac{x}{...} } } ),x>0$

$3):e^{nW(x)}=( \frac{x}{W(x)} )^n,n \in N,x>0$

$4):W(- \frac{x}{Lnx} )=-Lnx,x \in [0,e]$

$5):W(xLnx)=Lnx,x>0$

$6)Ln(W(x))=Lnx-W(x),x>0$

کاربرد در محاسبه توابع پرتوان(Hyperpower function):

تابع زیر را پر توان می نامند:

$\varphi (x)=x^{x^{x^{.^{.^{.}}}}},e^{-e} \leq x \leq e^{e^{-1}}$

$\varphi (x)=x^{ \varphi (x)=e^{ \varphi (x)Lnx}} \Rightarrow \varphi (x)e^{-\varphi (x)Lnx}=1\Rightarrow -Lnx\varphi (x)e^{-\varphi (x)Lnx}=-Lnx$

$\Rightarrow W(-Lnx\varphi (x)e^{-\varphi (x)Lnx})=W(-Lnx) \Rightarrow - \varphi (x)Ln(x)=W(-Lnx)$

$\varphi (x)= -\frac{W(-Lnx)}{Lnx}$