در حین مطالعۀ تاریخ ریاضی حداقل از دوران کاردانو تا قرن بیست، ما در خیلی جاها به عدد مختلط $i$ و تساوی $e^{ \pi i}+1=0$ برخورد می کنیم.و نام خیلی از ریاضیدانان به این نماد (عدد) گره خورده از جمله بامبلی،کاردانو، همیلتون، کاسپر وسل (نقشه بردار دانمارکی نروژی)، هنریک دومینیک تراول (فرانسوی)، دموآور، آرگاند، لژاندر، فرانسوا فرانسیس، گاوس، اویلر، دمورگان، برنولی راجر کاتز، هال ...وخیلی از گمنامان دیگر.
در این بلاگ هدف تشریخ تاریخ ریاضی نیست.(برای علاقه مندان خواندن کتاب کوچک :
Eulers pioneering equation: the most beautiful in mathematic 2018 by Wilson, Robin
که به فارسی تحت عنوان "معادلۀ پیشگام اویلر زیباترین معادله در ریاضیات" با ترجمۀسلیمان حسین پور ارائه شده است، توصیه می شود.)
در این جا بحث در مورد:
$$e^x=cosx+isinx,(e^{ \pi }+1=0)$$
(معادلۀ پیشگام اویلر )است.
البته من این تابلوی زیبا یا نغمۀ ریاضی ( برتر از تابلوهای مودلیانی و وانگوگ و اشر و اکبر منصوری(؟) یا نغمه های داوود پیامبر (اسطوره) و ام کلثوم و ابوالحسن خان اقبال آذر و علیمردان (آواز خوان کرکوکی) ) را تعریف مینامم نه معادله یا فرمول(؟).
شما در خیلی از جاها از فرمول دموآور گرفته تا بسط مکلورن توابع مثلثاتی روشهای زیادی نشان دادن برای معادلۀ $e^{ix}=cosx+isinx$ وجود دارد.من بر این واقفم (نه بر این باورم) که این تساوی در واقع تعریف است $(e^{ix}:=cosx+isinx)$ و مبنایی برای تعرف توان و لگاریتم اعداد مختلط.
اگر $z=x+iy \neq 0,z_1 \neq 0,z_2$ اعداد مختلط باشند لگاریتم و توان چنین تعریف می شود.
$$Logz:=Ln|z|+(argz)i$$
$$e^z=e^{x+iy}:=e^x.e^{iy}=e^x(cosy+isiny)$$
$$z_1^{z_2}:=e^{(Logz_1)z_2}$$
توجه داریم که لگاریتم چند مقداریست و اگر در حالت قطبی زاویه $argz$ را در بازۀ $(- \pi , \pi ]$ در نظر بگیریم شاخه اصلی نام دارد و مقدار این زاویه را با $Argz$ نشان می دهیم.لذا:
$$argz=Argz+2k \pi ,k \in Z$$
نتیجه:
$$e^{ \pi i}=e^{0+\pi i}=e^0(cos \pi +isin \pi) =1(-1+0i)=-1$$
$$ \Rightarrow e^ {\pi i}+1=0$$
در آخر یادآور می شوم که "ویلیام روآن همیلتون" اعجوبۀ ایرلندی بود که اعداد مختلط را برای فضای سه بعدی تعمیم داد و ما آن را تحت عنوان گروه کواترنیون ها (چهارگان) می شناسیم.همیلتون هنگامی که در کنار پل بروگهام قدم میزد این تعمیم به ذهنش رسید و در همانجا روی پل دستاوردهایش را روی پل حک کرد.این حکاکی هنوز نگهداری میشه.دمورگان گفت فقط خدا می داند بعد از چهارگان چه چیزی خواهد آمد.البته من میگم صلح جهانی آرامش نوع دوستی برداشتن مرزها انحلال فقر در غنا و... در سایۀ ریاضیات.
$ \Box $
