دنبالهٔ اعداد طبیعی غیرمربع، همانطور که از نامش پیداست، با حذف مربعهای کامل از دنبالهٔ اعداد طبیعی بهدست میآید:
$2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, \dots$
فرض کنید $a_n$ جملهٔ عمومی این دنباله باشد، که در آن $n$ نشاندهنده $n$-اُمین عدد غیرمربع است. میخواهیم فرمولی برای $a_n$ بهدست آوریم. بیایید گامبهگام مسئله را تحلیل و حل کنیم.
گام اول: بررسی تعداد اعداد غیرمربع
دنبالهٔ اعداد طبیعی را بهصورت $1, 2, 3, \dots$ در نظر بگیرید. مربعهای کامل عبارتند از $1, 4, 9, 16, \dots$.
تعداد مربعهای کامل کوچکتر یا مساوی یک عدد طبیعی $m$ برابر است با $\lfloor \sqrt{m} \rfloor$.
بنابراین، تعداد اعداد طبیعی غیرمربعی کوچکتر یا مساوی $m$ برابر است با $m - \lfloor \sqrt{m} \rfloor$.
گام دوم: برقراری ارتباط بین $a_n$ و $n$
اگر $a_n = m$ بگیریم، به این معنی است که $m$، $n$-اُمین عدد غیرمربع است. این یعنی دقیقاً $n$ عدد غیرمربع کوچکتر یا مساوی $m$ وجود دارد.
بنابراین، میتوان نوشت: $n = m - \lfloor \sqrt{m} \rfloor$.
گام سوم: حل معادله برای $m$
هدف ما یافتن $m$ بر حسب $n$ است. فرض کنید $\lfloor \sqrt{m} \rfloor = k$. از تعریف تابع جزءصحیح، میدانیم $k \le \sqrt{m} < k+1$. در نتیجه: $k^2 \le m < (k+1)^2$.
از معادلهٔ $n = m - k$، داریم $m = n + k$.
با جایگذاری این مقدار برای $m$ در نامساویهای بالا:
$$k^2 \le n + k < (k+1)^2$$
گام چهارم: تحلیل نامساویها برای یافتن مقدار $k$
نامساوی اول: $k^2 \le n + k$ $\Rightarrow$ $k^2 - k - n \le 0$. ریشههای معادلهٔ درجهٔ دوم $k^2 - k - n = 0$ عبارتند از $\frac{1 \pm \sqrt{1 + 4n}}{2}$. از آنجایی که $k > 0$ (چون $k = \lfloor \sqrt{m} \rfloor$ و $m \ge 1$)، داریم $0 < k \le \frac{1 + \sqrt{1 + 4n}}{2}$.
نامساوی دوم: $n + k < (k+1)^2 = k^2 + 2k + 1$ $\Rightarrow$ $n < k^2 + k + 1$.
از نامساوی اول، میدانیم که $k$ یک عدد صحیح است که از $\frac{1 + \sqrt{1 + 4n}}{2}$ بزرگتر نیست. بنابراین، بزرگترین مقدار صحیح ممکن برای $k$ برابر است با جزءصحیح این عبارت: $k \le \lfloor \frac{1 + \sqrt{1 + 4n}}{2} \rfloor$.
فرض کنید $s = \lfloor \frac{1 + \sqrt{1 + 4n}}{2} \rfloor$. از تعریف تابع جزءصحیح، میدانیم $s \le \frac{1 + \sqrt{1 + 4n}}{2} < s+1$.
$\implies 2s - 1 \le \sqrt{1 + 4n} < 2s + 1$.
$\implies (2s - 1)^2 \le 1 + 4n < (2s + 1)^2$.
$\implies 4s^2 - 4s + 1 \le 1 + 4n < 4s^2 + 4s + 1$.
$\implies s^2 - s \le n < s^2 + s$.
از طرفی، از نامساوی دوم داریم $n < k^2 + k + 1$. از آنجایی که $k < s$، پس بزرگترین مقدار صحیح برای $k$ برابر با $s-1$ خواهد بود. با جایگذاری در نامساوی دوم: $n < (s-1)^2 + (s-1) + 1 = s^2 - 2s + 1 + s - 1 + 1 = s^2 - s + 1$.
با توجه به اینکه $s^2 - s \le n$، پس مقدار $k$ باید برابر با $s$ باشد.
بنابراین، $k = \lfloor \frac{1 + \sqrt{1 + 4n}}{2} \rfloor$.
با جایگذاری مقدار $k$ در رابطهٔ $a_n = m = n + k$:
$a_n = n + \lfloor \frac{1 + \sqrt{1 + 4n}}{2} \rfloor$
میتوان نشان داد که $\lfloor \frac{1 + \sqrt{1 + 4n}}{2} \rfloor = \lfloor \sqrt{n} + \frac{1}{2} \rfloor$. فرض کنید $\lfloor \sqrt{n} + \frac{1}{2} \rfloor = j$. این بدان معناست که $j \le \sqrt{n} + \frac{1}{2} < j+1$.
$j - \frac{1}{2} \le \sqrt{n} < j + \frac{1}{2}$
$\implies (j - \frac{1}{2})^2 \le n < (j + \frac{1}{2})^2$
که منجر به $j^2 - j + \frac{1}{4} \le n < j^2 + j + \frac{1}{4}$ میشود. از آنجایی که $n$ یک عدد صحیح است، $j^2 - j + 1 \le n \le j^2 + j$. با مقایسهٔ این با $s^2 - s \le n < s^2 + s$، میتوان نتیجه گرفت که $j = s$.
بنابراین، جملهٔ عمومی دنبالهٔ اعداد طبیعی غیرمربع برابر است با:
$$\boxed{a_n = n + \left\lfloor \sqrt{n} + \frac{1}{2}\right\rfloor}$$
