میانگین های دو عدد

Question

اگر $a$ و $b$ دو عدد حقیقی نامنفی باشند آنگاه هر عدد حقیقی $M(a,b)$ که دارای خواص زیر باشد را یک میانگین برای $a$ و $b$ می نامند:

$1) M(a,b) \geq 0$

$2) if:a \leq b \Rightarrow a \leq M(a,b) \leq b$

$ 3) M(a,b)=M(b,a)$

$4) \forall \ \alpha \geq 0:M( \alpha a, \alpha b)= \alpha M(a,b)$

$5)$ $M$ نسبت به $a$ و $b$ پیوسته و صعودی باشد

حالا قرار دهید:

$A(a,b):= \frac{a+b}{2} ,G(a,b):= \sqrt{ab},H(a,b):= \frac{2}{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} } ,B(a,b):= \sqrt{ \frac{a^2+b^2}{2} } $

این مقادیر شرایط های بالا را دارند(؟) و به ترتیب از چپ به راست میانگین حسابی، هندسی، هارمونیک و مربعی نامیده می شوند.به سادگی می توان نشان داد که:

$Min ${$a,b$}$ \leq H(a,b) \leq G(a,b) \leq A(a,b) \leq B(a,b) \leq Max ${$a,b$}$ $

حالا برای هر عدد حقیقی دلخواه غیر صفر $p$ قرار دهید:

$$B_p:=( \frac{a^p+b^p}{2} )^ \frac{1}{p},B_0(a,b):= \lim_{p\to 0} B_p(a,b)$$

$$,B_{- \infty }(a,b):= \lim_{p\to - \infty }B_p(a,b),B_{ \infty }(a,b):= \lim_{p\to + \infty } B_p(a,b)$$

به سادگی می توان نشان داد که برای هر $p$ تعریف شده در بالا $B_p$ یک میانگین است و داریم:

$1)B_{- \infty }(a,b)=Min$ {$a,b$}$ $

$2)B_0(a,b)=G(a,b) $

$3)B_{ \infty }(a,b)=Max$ {$a,b$}$ $

$4) B_{-1}(a,b)=H(a,b),B_1(a,b)=A(a,b),B_2(a,b)=B(a,b)$

$5)if:p,q \in R^*,p \leq q \Rightarrow B_p(a,b) \leq B_q(a,b)$

$6)if:-1 \leq p \leq q \leq 1 $

$\Rightarrow Min ${$a,b$}$ \leq H(a,b) \leq B_p(a,b) \leq B_q(a,b) \leq A(a,b) \leq B(a,b) \leq Max ${$a,b$}$ $

حالا تعریف کنید:

$$L(a,b):= \frac{a-b}{lna-lnb} ,a \neq b,L(a,a):=a,H_ \nu (a,b)= \frac{a^ \nu b^{1- \nu }+a^{1- \nu }b^ \nu }{2} ,0 \leq \nu \leq 1$$

اینها هم شرایط میانگین را دارند و اولی میانگین لگاریتمی نام دارد.می توان نشان داد (البته نه زیاد به سادگی):

$1) G(a,b) \leq L(a,b) \leq A(a,b)$

$2)G(a,b) \leq H_ \nu (a,b) \leq A(a,b)$

$3) H_ \nu (a,b)=H_{1-v}(a,b),H_0(a,b)=A(a,b),H_ \frac{1}{2} (a,b)=G(a,b)$

در هر یک از نامساویهای بالا، نامساوی به برابری تبدیل می شود اگر و تنها اگر $a=b$.

برای خواص میانگین لگاریتمی می توان از این کمک گرفت که:

$$\int _0 ^\infty \frac{dt}{(t+ \frac{a+b}{2})^2} \leq \int _0 ^\infty \frac{dt}{(t+a)(t+b)} \leq \int _0 ^\infty \frac{dt}{(t+ \sqrt{ab} )^2}$$

$$,L(a,b)= \int _0^1a^tb^{1-t}dt= \int _0^1 \frac{dt}{ta+(1-t)b} = \int _0^ \infty \frac{dt}{(t+a)(t+b)}$$

$ \Box $