Question

میانگین متقارن (Symmetric mean):

فرض کنید که $a_1,...,a_n$ دنباله ای از اعداد حقیقی مثبت باشند و $k \leq n$ عددی صحیح و نامنفی باشد.در این صورت قرار دهید:

$ \sqrt[0]{p_0} :=1 $

$c_k:=$مجموع تمام حاصلضربهای $k$ تا از $a_i$ های متمایز

$p_k:={ \frac{c_k}{ \binom{n}{k} } } ,k \in N,k \leq n$

با این تعاریف منطقی $ \sqrt[k]{p_k} $ را میانگین متقارن مرتبه $k$ برای $a_i$ها نام دارد.واضح است که میانگین متقارن مرتبه $1$ و $n$ به ترتیب همان میانگین حسابی و هندسی است(؟).

به عنوان مثال برای سه عدد $a_1,a_2,a_3$ داریم:

$ \sqrt[0]{p_0} =1$

$ \sqrt[1]{p_1} = \frac{a_1+a_2+a_3}{ \binom{3}{1} }= \frac{a_1+a_2+a_3}{3} $

$ \sqrt[2]{p_2} = \sqrt[2]{\frac{a_1a_2+a_1a_3+a_2a_3}{ \binom{3}{2} }} = \sqrt[2]{\frac{a_1a_2+a_1a_3+a_2a_3}{3} } $

$ \sqrt[3]{p_3} = \sqrt[3]{ \frac{a_1a_2a_3}{ \binom{3}{3} } } = \sqrt[3]{ \frac{a_1a_2a_3}{1} } = \sqrt[3]{a_1a_2a_3} $

نتایج:

الف) قضیه ( نیوتون):اگر $1 \leq r<n,k,n \in N$ آنگاه داریم:

$p_{k-1}p_{k+1} \leq p_k^2$

و شرط لازم و کافی برای برقراری تساوی این است که $a_i$ها با هم برابر باشند.

ب) قضیه (ماکلورن):دنباله $( \sqrt[k]{p_k} )_{k=1}^n$ نزولی است به عبارت دیگر، اگر $r<s \leq n,r,s,n \in N$ آنگاه داریم:

$ \sqrt[s]{p_s} \leq \sqrt[r]{p_r} $

شرط لازم و کافی برای تساوی این است که $a_i$ها با هم برابر باشند.

برای اثبات الف استقراء برا به کار بگیرید و از الف برای ب استفاده کنید و در ب توجه شود که حکم را برای دو عدد طبیعی متوالی انجام دهید.

$ \Box $