در این بلاگ می خواهیم نشان دهیم که اگر $n$ عددی صحیح و غیر منفی باشد آنگاه:
$ \frac{(n^2)!}{(n!)^n} ,\frac{(n^2)!}{(n!)^{n+1}}, \frac{(3n)!}{6^nn!} ,\frac{(2n)!}{n!.(n+1)!} \in N$
و اگر $m,n$ دو عدد طبیعی و فرد باشند:
$ \frac{(mn)!}{(m!)^ \frac{n+1}{2}(n!)^ \frac{m+1}{2} } \in N $
معمولن در مسائلی که حکم در مورد هر عددی طبیعیست ذهن بیشتر سمت استقراء می رود اما همیشه کارساز نیست یا زحمت فراوان دارد.در این دو مساله هم چنین است.
به این گزاره توجه کنید که به کمک استقراء روی $n$ ثابت می شود که اگر $0 \leq k \leq n,k,n \in W$ آنگاه:
$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \in N $
حالا توجه کنید که اگر $n_1,n_2,...n_k \in W$ آنگاه داریم:
$ \frac{(n_1!+n_2!+...+n_k!)!}{n_1!n_2!...n_k!} \in N $
این حکم به کمک اصل استقراء روی $k$ ثابت می شود.حکم برای $k=1,2$ واضح است که درسته:
$ \frac{n_1!}{n_1!} =1 \in N, \frac{(n_1+n_2)!}{n_1!n_2!}= \binom{n_1+n_2}{n_1} = \binom{n_1+n_2}{n_2} \in N$
حالا اگر فرض کنیم حکم برای $k$ درست اس برای $k+1$ داریم:
$ \frac{(n_1+n_2+...+n_k+n_{k+1})!}{n_1!n_2!...n_k!n_{k+1}!} = \frac{(n_1+n_2+...(n_k+n_{k+1}))!}{2_2!n_2!...(n_k!n_{k+1}!)} = \frac{(n_1+n_2+...+(n_k+n_{k+1}))!}{n_1!n_2!...(n_1+n_2)!}. \frac{(n_k+n_{k+1})!}{n_k!.n_{k+1}!} \in N $
روش دوم اثبات این گزاره کمک از ترکیبیات است.فرض کنید $n_1$ شیء یکسان از نوع اول و $n_2$ شیء یکسان از نوع دوم و ... و $n_k$ شیء یکسان از نوع $k$ را داریم و می خواهی آنها را در یک خط راست کنار هم ردیف کنیم.تعداد حالات (((که عددی طبیعی است))) برابر است با(؟):
$ \binom{n_1+n_2+...+n_k}{n_1,n_2,...,n_k}= \frac{(n_1+n_2+...+n_k)!}{n_1!n_2!...n_k!} $
در قسمت اول مسالۀ اول داریم:
$ \frac{(n^2)!}{(n!)^n} = \frac{(n+n+...+n)!}{n!n!...n!}= \binom{n+n+...+n}{n.n,...,n} \in N$
برای قسمتهای دیگر ممکن است استقراء چالش زیادی داشته باشد.بهتر است از ترکیبیات استفاده شود:
اگر بخواهیم $kn$ شیء دوبدو متمایز را در $k$ دسته دسته بندی کنیم که هر دسته شامل $n$ شیء باشد (مثلن $kn$ نفر را به $k$ تیم ورزشی $n$ نفره تقسیم کنیم ) تعداد حالات برابر است با:
$ \frac{(kn)!}{(k!)^nn!} \in N $(?)
حالا اگر $n=k$ یا $k=3$ آنگاه باید:
$ \frac{(n^2)!}{(n!)^{n+1}} \in N,\frac{(3n)!}{6^nn!}=\frac{(3n)!}{(3!)^nn!}\in N$
برای قسمت آخر داریم:
$ \frac{(2n)!}{n!(n+1)!} = \frac{(2n+1)(2n!)}{(2n+1)n!(n+1)!} = \frac{1}{2n+1}. \frac{(2n+1)!}{n!(n+1)!} = \frac{\binom{2n+1}{n}}{2n+1} $
و به طریق مشابه داریم:
$\frac{(2n)!}{n!(n+1)!}= \frac{\binom{2n}{n}}{n+1} $
حالا اگر $ \frac{a}{b} $ ساده شده نهایی $\frac{(2n)!}{n!(n+1)!}$ باشد یعنی $(a,b)=1$ آنگاه داریم:
$b|(2n+1),b|(n+1) \longrightarrow b|2(n+1)-(2n+1)=1 \longrightarrow b=1 \longrightarrow \frac{(2n)!}{n!(n+1)!}=a\in N$
برای مسالۀ دوم فرض کنید $m=2s-1,n=2p-1$ آنگاه داریم:
$ \frac{(mn)!}{m!^ \frac{n+1}{2} n!^ \frac{m+1}{2} }= \frac{(mn)!}{m!^p.n!^s} = \frac{(mn)!}{(mp+ns)!}. \frac{(mp+ns)!}{m!^pn!^s} \in N$
$ \Box $
