بسیاری از دبیران و دانش آموزان در برخورد با حد هایی مثل
$\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x+2h)}{h}$
تصور می کنند چنین حد هایی الزاماً به معنای مشتق پذیری تابع
می باشد؛ نشان خواهیم داد چنین نیست! تابع زیر را ببینید:
$ f(x)=\begin{cases}x& x\in \mathbb{R}-{3}
\\
\\
\\
0& x =3\end{cases} $
حال اگر حد
$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x+2h)}{h}$
را حساب کنیم؛ می بینیم جواب این حد برای تمامی
$x$
های حقیقی موجود و متناهی است امّا به معنای مشتق پذیری تابع در $\mathbb{R}$ نیست!
$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x+2h)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)-(x-2h)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{3h}{h}=3$
