قضیه کوچک فرما

Question

اگر $x_1,x_2,...x_n$ دنباله ای از اعداد حقیقی (مختلط) باشند و $p$ عددی حسابی آنگاه داریم:

$$(x_1+x_2+...+x_n)^p= (\sum _{i=1}^nx_i)^p=\sum _{p_i \in W,p_1+p_2+...+p_n=p} \frac{p!}{p_1!.p_2!...p_n!} x_1^{p_1}x_2^{p_2}...x_n^{p_n}$$

$$= \sum _{i=1}^nx_i^p+\sum _{p_i \in W,p_i \neq p,p_1+p_2+...+p_n=p} \frac{p!}{p_1!.p_2!...p_n!} x_1^{p_1}x_2^{p_2}...x_n^{p_n}$$

به سادگی می توان نشان داد که $\frac{p!}{p_1!.p_2!...p_n!} \in N$.به عبارتی هم ارز $p_1!.p_2!...p_n!|p!=p(p-1)!$.

حالا اگر $p$ عددی اول باشد در سیگمای دوم طرف راست تساوی اخیر برای هر $1 \leq i \leq n$ داریم:

$(p_i!,p)=1 \longrightarrow (p_1!.p_2!...p_n!,p)=1 \longrightarrow p_1!.p_2!...p_n!|(p-1)! $

$\longrightarrow (p-1)!=p_1!.p_2!...p_n!.s,s \in N \longrightarrow \frac{(p-1)!}{p_1!.p_2!...p_n!}=s$

$ \longrightarrow p.\frac{(p-1)!}{p_1!.p_2!...p_n!}=ps \longrightarrow p|\frac{p!}{p_1!.p_2!...p_n!}$

$$\longrightarrow p|\sum _{p_i \in W,p_i \neq p,p_1+p_2+...+p_n=p} \frac{p!}{p_1!.p_2!...p_n!}$$

حالا اگر قرار دهیم: $x_1=x_2=...=x_n=1$ آنگاه داریم:

$$\sum _{p_i \in W,p_i \neq p,p_1+p_2+...+p_n=p} \frac{p!}{p_1!.p_2!...p_n!}=n^p-np $$

$\longrightarrow p|n^p-n \longrightarrow n^p \equiv n(modp)$

واگر $(n,p)=1$ آنگاه داریم:

$p|n(n^{p-1}-1) \longrightarrow p|n^{p-1}-1 \longrightarrow n^{p-1} \equiv 1(modp)$

و این همان قضیه کوچک فرماست.

$ \Box $