فرض کنید
$f,g$
به ترتیب توابعی فرد و زوج باشند، اگر انتگرال
$\displaystyle \int_{-a}^{a}\frac{\mathrm{d}x}{1+f(x)^{g(x)}}$
در بازه
$[-a,a]$
موجود باشد؛ نشان دهید مقدار این انتگرال، ثابت $a$ است.
حل: تعریف کنید:
$I=\displaystyle \int_{-a}^{a}\frac{\mathrm{d}x}{1+f(x)^{g(x)}} $
با تغییر متغیر
$u=-x\Longrightarrow \mathrm{d}x=-\mathrm{d}u$
داریم:
$\displaystyle I=-\int_{a}^{-a}\frac{\mathrm{d}u}{1+f(-u)^{g(-u)}}$
با توجه به شرایط مسئله داریم:
$I=\displaystyle \int_{-a}^{a}\frac{\mathrm{d}u}{1+f(u)^{-g(u)}}=\int_{-a}^{a}\frac{\mathrm{d}x}{1+f(x)^{-g(x)}} $
بنابر این میتوان ادعا کرد:
$2I=\displaystyle\int_{-a}^{a}\frac{\mathrm{d}x}{1+f(x)^{g(x)}}+ \int_{-a}^{a}\frac{\mathrm{d}x}{1+f(x)^{-g(x)}}=\int_{-a}^{a}\frac{(2+f(x)^{g(x)}+f(x)^{-g(x)})\mathrm{d}x}{2+f(x)^{g(x)}+f(x)^{-g(x)}}$
در نهایت به نتیجه زیر خواهیم رسید:
$2I=\displaystyle \int_{-a}^{a}\mathrm{d}x=\left[ x \right]^{a}_{-a}=2a\Longrightarrow I=a$
