علاقۀ تاریخی به عددهای به صورت $2^n-2$ از ادعای ریاضیدانان چینی $25$ صده پیش مبنی بر اینکه $n$ اول است اگر و تنها اگر $n|2^n-2$، نشأت گرفته است.(در واقع این محک به ازای $2 \leq n \leq 340$ قابل اعتماد است).در سال $1819$ کشف یا کوشش و ذهن ریاضیدانان نشان داد که $341|2^{341}-2,341=11 \times 31$ و ادعای ریاضیدانان چینی باطل شد.
حالتی که در آن $n|2^n-2$ آنقدر پیش می آید که شایسته است نام خاصی داشته باشد:عدد طبیعی مرکب $n$ را اولنما می گویند هرگاه $n|2^n-2$.کوچکترین این اعداد عبارتند از $341,561,645$.راه های زیادی وجود دارد که نشان داده شده است اعداد اولنما متناهی نیستند:
1) اگر عدد $n$ اولنمای فردی باشد آنگاه $M_n=2^n-1$ اولنمای بزرگتری است.(به سادگی و با اتحاد $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+a^2b^{n-2}+b^{n-1})$
3)اگر $p$ عددی اول و $M_p=2^p-1$ مرکب باشد آنگاه $M_p$ اولنما است.
4) هر عدد مرکب $F_n=2^{2^n}+1$ که $n$ عددی حسابی باشد، اولنماست.
5) اگر $(a,b)=1$ آنگاه در دنبالۀ حسابی $a,a+b,a+2b,...$ بینهایت اعداد اولنما وجود دارد.(شبیه قضیۀ دشوار دیریکله).
تعداد اعداد اولنما کمتر از یک میلیون $245$ تاست.از طرفی نشان داده شده است که $ \pi (10^6)$ یعنی تعداد اعداد اول کمتر از یک میلیون برابر $78492$ است و این نشان می دهد که اعداد اولنما با اینکه نامتناهی اند اما نادرند.
نخستین مثال از اول نمای زوج $161038=2 \times 73 \times 1103$ است که در سال $1950$ ارائه شده است.
حالا اولنماهای مطلق:
قضیۀ کوچک فرما :
اگر $p$ عددی اول باشد و $a \in Z,(a,p)=1$ آنگاه $a^{p-1} \equiv 1(modn)$.یا به صورت دیگر اگر $p$ عددی اول باشد، آنگاه برای هر عدد صحیح $a$ داریم $a^p \equiv a(mod n)$
فرما حقوق دان و قاضی وابسته به مجلس ایالت دولتی در تولوز فرانسه، آخرین ریاضیدان بزرگی بود که ریاضیات را به عنوان یک مشغلۀ فرعی در جوار حرفۀ غیر علمی خود دنبال می کرد.و اگر اینطور به ریاضیات نمی پرداخت در زمان حیات شهرتی همتراز دزارگ، دکارت،پاسکال، والیس، برنولی، لایب نیتس و شاید نیوتون داشت.بیشتر نتایج دستاوردهایش را در گوشه و کنار و حاشیه کتابها یادداشت می کرد.آنچه از فرما به جا مانده در مکاتبات فراوانش است.طرف این مکاتبات بیشتر برنار فرنیکل دو بسی (کارمند ضرابخانه) و ابر رایانه زمانه خود در کار با اعداد بزرگ و پدر مرسن و پاسکال بودند.در $18$ اکتبر $1640$، فرما قضیه کوچک را به دوستش فرنیکل اطلاع داد و یادآور شد ""اگر اثبات بیش از حد طولانی نمی بود آن را برای شما می نوشتم".تقریبن صد سال سپری شد تا اویلر همه کاره و ستایشگر نظریه اعداد نخستین اثبات آن را در سال $1736$ منتشر کرد.ولی به نظر می رسد که از این افتخار سهمی به لایبنیتس نرسیده است زیرا او نیز، اندکی پیش از اویلر اثبات مشابهی از خود در دست نوشته ای منتشر نشده بر جای گذاشت.
عکس قضیه کوچک فرما درست نیست.$2^{340} \equiv 1(mod 341),341=11 \times 31$.
حالا اگر قضیۀ فرما یا معکوس آن را یک کم تغییر دهیم می توان پرسید آیا عددی مرکب مانند $n$ وجود دارد که برای هر عدد صحیح مانند $a$ داشته باشیم $a^n \equiv a(mod n)$.
کوچکترین عددی که به این سوال پاسخ مثبت می دهد $561=3 \times 11 \times 17$ است که برای نخستین بار در سال $1909$ توسط ریاضیدانی به نام کارمایکل ارائه شد.
تعریف:اعدادی طبیعی که به پرسش اخیر جواب مثبت می دهند اولنمای مطلق یا اعداد کارمایکل نام دارند.
اعداد $1729=7 \times 3 \times 19$ و $6601=7 \times 23 \times 41$ و $10585=5 \times 29 \times 73$ اولنمای مطلق اند.(جالب این است که عدد $1729$ عدد تاکسی یا عدد رامانوجان-هاردی نیز هست.کوچکترین عددی است که به دو نوع مختلف می توان آن را به صورت مجموع مکعبهای دو عدد نوشت $1729=1^3+12^3=9^3+10^3$ ریاضیدانان ممکن است بعد از سالها و صده ها همدیگر را ملاقات کنند.)
حدسی وجود دارد که بینهایت اعداد اولنمای مطلق وجود دارند، ولی این حدس هنوز ( تا زمان تالیف مرجع این بلاگ) اثبات (رد) نشده است، و فقط $43$ اولنمای مطلق کوچکتر از یک میلیون وجود دارند.
به سادگی می توان نشان داد که هر عدد به صورت $n=(6k+1)(12k+1)(18k+1)$ که هر پرانتز یک عدد اول است ،اولنمای مطلق است.
اگر دنبال اعدا کارمایکل هستید بهتر است به این قضیه توجه شود:
قضیه:اگر $n=p_1p_2...p_r$ عددی صحیح و مرکب باشد و $p_i$ها متمایز باشند و برای هر اندیس $i$ داشته باشیم $p_i-1|n-1$ آنگاه $n$ اولنمای مطلق است.
منبع:نظریه مقدماتی اعداد دیوید ام.برتون مرکز نشر دانشگاهی ترجمه محمدصادق منتخب.
$ \Box $
