حاصل هر عدد حقیقی (ℝ) مانند $ a $ که $ a \neq 0 $ به توان $ 0 $ برابر با $ 1 $ است :
$$ \begin{align} a^{0}=1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(a \neq 0) \end{align} $$
برای مثال :
- $ 10^{0}=1 $
- $ 0/0000008^{0}=1 $
- $ -12^{0}=1 $
- $ \sqrt{5} \,^{0}=1 $
اما چگونه میتوان این قضیه را اثبات کرد؟
روش اول : می دانیم برای تقسیم دو عبارت تواندار با پایههای برابر باید توان مقسوم علیه را از توان مقسوم کم کنیم. بنابراین میتوان برای هر عدد حقیقی غیرصفر نوشت :
$$ \begin{align} a^{n}= \frac{ a^{n+1} }{a}= \frac{\require{cancel}\bcancel{a} \times \overbrace{a \times a \times ... \times a} }{\bcancel{a}} \end{align} $$
حالا برای $ a^{0} $ میتوان نوشت :
$$ \begin{align} a^{0}= \frac{ a^{0+1} }{a}= \frac{\require{cancel}\bcancel{a}}{\require{cancel}\bcancel{a}}=1 \end{align} $$
روش دوم : می دانیم برای ضرب دو عدد تواندار با پایههای برابر باید توانهای آنها را با هم جمع کرد. بنابراین برای عددی حقیقی و ناصفر مانند $ a $ داریم :
$$ \begin{align} a^{n} \times a^{m}= a^{n+m} \end{align} $$
با قرار دادن $ m=1 $ و $ n=0 $، داریم :
$$ \begin{align} a^{0} \times a^{1}= a^{0+1} \Rightarrow a^{0} \times a^{1}=a^{1} \end{align} $$
با تقسیم طرفین بر $ a^{1} $ داریم :
$$ \begin{align} \frac{\require{cancel}\bcancel{ a^{1} } \times a^{0} }{\require{cancel}\bcancel{ a^{1} }}= \frac{\require{cancel}\bcancel{ a^{1} }}{\require{cancel}\bcancel{ a^{1} }} \end{align} $$
بنابراین، به تساوی زیر میرسیم که نشان میدهد هر عدد به توان صفر برابر با یک است :
$$ \begin{align} a^{0}=1 \end{align} $$
