Question

یک مسأله جالب از

$Crux Mathematicorum Volume/tome 51, issue/numéro 1 January/janvier 2025$

اگر $a$ عددی حقیقی مثبت باشد حد دنبالۀ زیر را بیابید:

$$ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{2n}(-1)^k( \frac{k}{2n} )^a$$

به کمک قضیۀ شولتس:

$$ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{2n}(-1)^k( \frac{k}{2n} )^a= \lim_{n\to \infty } \frac{\sum_{k=1}^{2n+2}(-1)^kk^a-\sum_{k=1}^{2n}(-1)^kk^a}{(2n+2)^a-(2n)^a} $$

$$= \lim_{n\to \infty } \frac{(2n+2)^a-(2n+1)^a}{(2n+2)^a-(2n)^a} = \lim_{n\to \infty } \frac{[(1+ \frac{1}{n} )^a-1]-[(1+ \frac{1}{2n} )^a-1]}{(1+ \frac{1}{n} )^a-1} $$

$$= \lim_{x\to 0^+} \frac{[(1+x)^a-1]-[(1+ \frac{x}{2} )^a-1]}{(1+x)^a-1} = \lim_{x\to 0^+} \frac{[ \frac{(1+x)^a-1}{x-0}] -[ \frac{(1+ \frac{x}{2} )^a-1}{x-0 } ]}{ \frac{(1+x)^a-1}{x-0} }$$

$$= \frac{f'(x)-f'( \frac{x}{2} )}{f'(x)} $$

$$= \frac{a- \frac{a}{2} }{a} $$

$$= \frac{1}{2}$$

که در آن $f(x)=(1+x)^a$.

$ \Box $