اعدا برنولی

Question

خیام، پاسکال و ژاکوب برنولی،لوران و ماکلورن، ریمان و... کجای بهشت ریاضیات همدیگر را ملاقات کردند؟

مثلث خیام پاسکال را به صورت قائم الزاویه در نظر بگیرید:

$1$

$1 ,1$

$1,2,1$

$1,3,3,1$

$1,4,6,4,1$

$1,5,10,10,5,1$

$.$

$.$

$.$

حالا توجه کنید که اگر $n,k \in N$ و $S_k=S(n,k)=1^k+2^2+...+n^k$ آنگاه با توجه به اینکه:

$$x^k-(x-1)^k= \sum _{t=1}^{k-1} \binom{k}{t} (-1)^{t-1}x^{k-t}$$

از جمع تساویهای بالا از $x=1$ تا $x=n$ به این نتیجه می رسیم که:

$n^1=S_0$

$n^2=-S_0+2S_1$

$n^3=S_0-3S_1+3S_3$

$n^4=-S_0+4S_1-6S_2+4S_3$

$.$

$.$

$.$

$n^{k+1}=(-1)^kS_0+(k+1)S_1+...+(k+1)(-1)^{k+1}S_k$

حالا ستون سمت چپ تساویهای اخیر را با یک ماتریس ستونی به نام $Y$ نشان دهید و $S_k$ ها را ماتریسی ستونی به نام $X$ و ضرایب را در سمت چپ تساوی با همان ترتیب نوشته شده با ماتریس مربعی $(k+1)(k+1)$ به نام $A$.واضح است که درایه های غیر صفر $A$ همان مثلث خیام پاسکال است البته اگر وترش را برداریم.$A$ ماتریسی پایین مثلثی است که درایه های روی قطر اصلی آن غیر صفرند پس معکوس دارد:

$ \Rightarrow AX=Y \Rightarrow X=A^{-1}Y$

و از اینجا $S_k$ ها محاسبه می شوند.ماتریس $A^{-1}$ پایین مثلثی است :

$S_0=1n$

$S_1= \frac{1}{2} n^2+ \frac{1}{2}n $

$S_2=\frac{1}{3}n^3+ \frac{1}{2} n^2+ \frac{1}{6} n$

$S_3= \frac{1}{4} n^4+ \frac{1}{2} n^3+ \frac{1}{2} n^2+0n$

$S_4= \frac{1}{5} n^5+ \frac{1}{2} n^4+ \frac{1}{3}n^3+0n^2-\frac{1}{30} n$

به سادگی می توان نشان داد که قسمت پایین مثلث ماتریس $A^{-1}$ به صورت زیر است:

$ \frac{1}{1} (1B_0)$

$ \frac{1}{2} (1B_0,2B_1)$

$ \frac{1}{3}(1B_0,3B_1,3B_2)$

$ \frac{1}{4}(1B_0,4B_1,6B_2,4B_3)$

$ \frac{1}{5} (1B_0,5B_1,10B_2,10B_3,5B_4)$

$.$

$.$

$.$

که اگر ضریب هر سطر و $B_i$ ها را نادیده بگیریم همان مثلث خیام پاسکال با حذف وتر است.در اینجا $B_i$ ها اعداد برنولی هستند.اعداد برنولی به روش های متفاوت و هم ارزی تعریف می شوند.ساده ترین ای تعریف ها به صورت بازگشتی چنین است:

$$B_0=1,B_n= \sum _{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} B_k=0,n \geq 1$$

لئونارد اویلر اعداد برنولی را با استفاده از ضرایب بسط تیلور تابعی خاص چنین زیر تعریف می کند:

$$ \frac{x}{e^x-1} = \sum _{n=0}^ \infty \frac{B_n}{n!}x^n $$

ریاضی آموختگانی که حساب دیفرانسیل و انتگرال را فرا گرفته باشند واقفند که:

$$tan(x)=\sum_{n=1}^ \infty \frac{(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} ,|x|< \frac{ \pi }{2} $$

$$\zeta (2n)= \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{2n}} =(-1)^{n+1} \frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!} $$

اگر قرار باشد گفته شود که اعداد برنولی دیگر در کجا ظاهر می شوند باید گفت تقریبن همه جا که در اینجا فکر نکنم مجال برای همه موارد باشد.زمانی ریاضیدانی گفته بود (فکر کنم وست در کتاب گرافش ) که میشه چند جلد کتاب فقط به گراف منصوب به پترسن نوشت.من میگم چندها جلد می توان به اعداد برنولی نوشت.بعضیهاش نوشته شد.تور تنیده جهانی را حساب نکردم.

$ \Box $