با فرض:
$$ x_0=0,x_1,x_2,...,x_n \in R,x_1,x_2,...,x_n>0, \sum _{k=1}^nx_k=1 $$
ثابت کنید:
$$ \sum_{k=1}^n \frac{x_k}{ \sqrt{1+x_0+...+x_{k-1}} \sqrt{x_k+...+x_n} } < \frac{ \pi }{2} $$
اثبات:چون $x_k$ ها مثبت هستند و مجموعشان یک است، منطقی است که تعریف زیر را به کار ببریم:
$$a_k:=sin^{-1}(x_0+x_1+...+x_k) $$
$$ \Rightarrow x_0+x_1+...+x_k=sin(a_k),0=a_0<a_1<...<a_n= \frac{ \pi }{2} $$
حالا با توجه به اینه اگر $0<x \leq \frac{ \pi }{2} $ تابع کسینوس نزولی است و $sin(x)<x$ داریم:
$$ \sum_{k-1}^n \frac{x_k}{ \sqrt{1+x_0+...+x_{k-1}}\sqrt{x_k+...+x_n}} = \sum _ {k=1}^n \frac{sin(a_k) - sin(a_{k-1})}{ \sqrt{1+sin(a_k)} \sqrt{1-sin(a_{k-1})} } $$
$$ = \sum_{k=1}^n \frac{2sin(\frac{a_k-a_{k-1}}{2}) cos(\frac{a_k+a_{k-1}}{2})}{cos(a_{k-1})} < \sum_{k=1}^n \frac{2 \frac{a_k-a_{k-1}}{2} cos(a_{k-1})} {cos(a_{k-1})} $$
$$ = \sum_{k=1}^n(a_k-a_{k-1})= a_n = \frac{\pi}{2} $$
$\Box$
المپیاد ریاضی چین 1996.اثبات از تیتو آندرسکو.
