در مبحث رفتار همگرایی دنباله ها قضایای کوشی و شولتس و چزارو کار را خیلی آسان می کنند.
قضیه اول حد کوشی$[Augustin-Louis Cauchy (1789-1857)]$:اگر دنباله {$a_n$} حد داشته باشد (یعنی چه مقداری حقیقی باشد یا واگرا به مثبت یا منفی بینهایت) و
$$ \lim_{n\to \infty }a_n =a$$
آنگاه داریم:
$$ \lim_{n\to \infty } \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} =a$$
عکس این قضیه درست نیست می توان دنباله $a_n=(-1)^n$ را بکار گرفت.
نتیجه: اگر جملات دنباله مثبت باشند آنگاه:
$$ \lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{a_1a_2...a_n} =a$$
قضیه دوم حد کوشی:اگر {$a_n$} دنبالهای با جملات مثبت باشد و حد دنباله {$ \frac{a_{n+1}}{a_n} $} موجود باشد و
$$ \lim_{n\to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_n} =a$$
آنگاه حد دنبالۀ {$ \sqrt[n]{a_n} $} موجود است و:
$$ \lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{a_n} =a$$
قضیه اول شولتس$[Otto ,Stolz (1844-1905)]$:اگر {$a_n$} دنبالهای دلخواه دارای حد $a$ باشد و {$p_n$} دنبالهای با جملات مثبت و
$$s_n:=p_o+p_1+...+p_n, \lim_{n\to \infty }s_n= \infty $$
آنگاه حد زیر موجود است:
$$ \lim_{n\to \infty } \frac{p_0a_0+p_1a_1+...+p_na_n}{s_n} =\lim_{n\to \infty } \frac{p_0a_0+p_1a_1+...+p_na_n}{p_o+p_1+...+p_n}=a$$
قضیه دوم شولتس:اگر {$x_n$} و {$y_n$} دو دنباله از اعداد حقیقی باشند که از مرحلهای به بعد $y_n<y_{n+1}$ و
$$ \lim_{n\to \infty } y_n= \infty $$
آنگاه داریم:
$$ \lim_{n\to \infty } \frac{x_n}{y_n} = \lim_{n\to \infty } \frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}} $$
مشروط بر اینکه حد سمت راست موجود باشد.(چه حقیقی و چه واگرا به مثبت بینهایت).
قضیۀ چزارو $[Cesaro, Ernesto (1859-196)]$:اگر دنبالههای {$a_n$} و {$b_n$} به ترتیب همگرا به اعداد حقیقی $a$ و $b$ باشند آنگاه داریم:
$$ \lim_{n\to \infty } \frac{a_1b_n+a_2b_{n-1}+...+a_{n-1}b_2+a_nb_1}{n} = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^na_kb_{n-k+1}=ab$$
به سادگی می توان بررسی کرد که قضیه اول حد کوشی حالتی خاص از قضیه اول شولتس و حالتی خاص از قضیه چزارو است.
$ \Box $
