سالها پیش به این فکرم میکردم که کدام ریاضیدان در رتبه اول قرار دارد.اقلیدس، فیثاغورث، توریچلی، کاردانو، نیوتون، لابینیتز، گاوس، فرما،رامانوچان،کانتور،کوشی، خاندان برنولی، چبیشف، اردوش....همه!!! ریاضیدانان ستاره های درخشان آسمان همان بهشتی هستند که هیلبرت توصیفش کرد..(هیچ کس نمی تواند ما را از بهشتی که کانتور برایمان آفریده است بیرون کند.هیلبرت).
اولدنبرگ ($Oldenburg$)، در نامهای به لایبنیتز در سال $1676$، مجموع سری نامتناهی زیر را خواست:
$$ \sum_{n=1}^ \infty \frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^3} + \frac{1}{4^2} +...$$
لایبنیتز نتوانست جواب را پیدا کند و در سال $1689$ یاکوب برنولی اعتراف کرد که او هم قادر به یافتن جواب نیست.بعدها اویلر به کمک بسط مکلورن تابع سینوس و ارتباط سینوس با تابع زیبایش یعنی گاما نبوغ خود را بار دیگر رو کرد:
$$sin(x)= \sum_{n=0}^ \infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}=x- \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!} -\frac{x^7}{7!}+...$$
$$sin( \pi x)= \pi x\prod_{n=1}^ \infty (1- \frac{x^2}{n^2})=x(1-x^2)(1- \frac{x^2}{2^2})(1- \frac{x^2}{3^2} )...$$
اویلر کار را با ضرب پرانتزهای رابطۀ اخیر و مساوی قرار دادن با بسط مکلورن شروع کرد:
$$ \pi x(1-x^2)(1- \frac{x^2}{2^2} )(1- \frac{x^2}{3^2} )...= \pi (x-x^3)(1- \frac{x^2}{2^2} )(1- \frac{x^2}{3^2} )...$$
$$= \pi (x-(1+ \frac{1}{2^2})x^3+ \frac{x^5}{2^2} )(1- \frac{x^2}{3^2} )...$$
$$= \pi (x-( \frac{1}{1^2}+ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} +...)x^3+...)$$
$$ \Rightarrow -\pi( \frac{1}{1^2}+ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} +...)=- \frac{ \pi ^3}{3!} $$
$$ \Rightarrow \frac{1}{1^2}+ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} +...= \frac{ \pi ^2}{6} $$
البته ایده اولیه اویلر این بود که معادلۀ $Sin(x)=0$ بینهایت ریشه به صورت $0,k \pi ,k \in Z$ دارد.حالا اگر معادله را به صورت بسط مکلورنش در نطر بگیریم مجموع عکس مربعات ریشه ها همان ضریب $x^3$ است.
اویلر در کتاب مدخل خود مربوط به سال $1745$ مقادیر سری را برای توانهای زوج تا $26$ به دست آورد.این نتایج بعدها برای هر عدد زوج ارائه شد:
$$\zeta (2n)= \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{2n}} =(-1)^{n+1} \frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!} $$
در حین همین کارهاست که اویلر به تعمیم خواص چند جمله ایهای متناهی به چندجمله ایهای نامتناهی هم میرسد.به دست آوردن سری فوق با توانهای فرد در توان نبوغ اویلر نبود و تا حالا هم کسی نتوانسته این مجموع ها را بیابد و آیا اینها هم به صورت ضریبی از توانی از عدد پی اند تا نه.گذشت حدود سیصد سال از زمان اویلر و هنوز نیافتن صریح این سریها دلیلی بر عدم ناتوانی اویلر و دیگر بزرگان ریاضیات است.
اویلر با بکار بردن سری مکلورن کسینوس به طریق مشابه به این نتیجه رسید که:
$$ \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{7^2} +...= \frac{ \pi ^2}{8}$$
بعد از بکاربستن این دو نتیجه به این رسید که:
$$ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} +...= \frac{ \pi ^2}{12} $$
بد نیست سری هم به دنیای نبوغ یکی از پایه گذاران آنالیز مدرن یعنی کوشی بزنیم.سالها بعد از اویلر کوشی به کمک نامساویها و تابع مثلثاتی سری فوق را بار دیگر هم ثابت کرد.کوشی اول با بکار بستن اتحاد دموآور نشان داد که:
$$sin(nx)=sin^nx( \binom{n}{1} cot^{n-1}x-\binom{n}{3} cot^{n-3})x+ \binom{n}{5} cot^{n-5}x-...)$$
بعد به کمک خواص ضرایب چندجمله ایها و ریشه های آنها نتیجه گرفت:
$$ \sum_{k=1}^m cot^2 \frac{k \pi }{2m+1}= \frac{m(2m-1)}{3}$$
$$,\sum_{k=1}^m cot^4 \frac{k \pi }{2m+1}= \frac{m(2m-1)(4m^2+10m-9)}{45}$$
حالا با توجه به اینکه اگر $0<x< \frac{ \pi }{2} $ آنگاه $sinx<x<tanx$ و $cot^2x< \frac{1}{x^2} <1+cot^2x$ اگر قرار دهیم $x= \frac{k \pi }{2m+1} ,m \in N,1 \leq k \leq m$ آنگاه داریم:
$$ \frac{m(2m-1) \pi ^2}{3(2m+1)^2} < \sum_{k=1}^m\frac{1}{k^2} < \frac{2m(m+1) \pi ^2}{3(2m+1)^2}$$
و در اینجا با گرفتن حد از طرفین و قضیۀ فشار کار تمام است.به طریق مشابه کوشی نشان داد که:
$$ \zeta (4)= \frac{ \pi ^4}{90} $$
$ \Box $
