کدام گزینه در مورد دنبالۀ $x_n=n!e-[n!e]$ درست است؟([] نماد جزء صحیح است).
1) همگرا به صفر است.
2) همگرا به یک است.
3) همگرا به $ \frac{1}{e} $ است.
4) واگراست.
حل: توجه کنید که از
$$ \lim_{n\to \infty }(1+ \frac{1}{n})^n= \sum_{n=0}^ \infty \frac{1}{n!}=e$$
می توان نتیجه گرفت که:
$$ \forall n \in N: \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} <e<\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}+ \frac{1}{n.n!} $$
$$ \Rightarrow \forall n \in N: n!\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} <n!e<n!\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}+ \frac{1}{n}$$
$$ \Rightarrow\forall n \in N,n>1:[n!e]=n!\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} $$
$$ \Rightarrow x_n=n!e-[n!e]=n!\sum_{k=0}^ \infty \frac{1}{k!}-n!\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} =n!\sum_{k=n+1}^ \infty \frac{1}{k!}$$
$$= \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)} +...$$
$$< \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{(n+1)^3} +....= \frac{ \frac{1}{n+1} }{ 1-\frac{1}{n+1} }= \frac{1}{n+1-1} = \frac{1}{n} $$
از طرفی دیگر واضح است:
$$x_n> \frac{1}{n+1} $$
با این توضیحات داریم:
$$ \frac{1}{n+1} <x_n< \frac{1}{n} $$
$$ \Rightarrow \lim_{n\to \infty } x_n=0$$
$ \Box $
