مسألهی شماره ۴ المپیاد ریاضی چین سال ۱۹۹۸
همهی عددهای طبیعی مانند $ n $ را پیدا کنید که $ n \geq 3 $ و $ 2^{2000} $ بر
$${1+ \binom{n}{2}+ \binom{n}{2}+ \binom{n}{3}}$$
بخشپذیر باشد.
راهحل
فرض کنید عدد طبیعی $n$ ویژگیهای موردنظر را داشته باشد. چون $ 2 $ عددی اول است، پس عددی طبیعی مانند $ k $ وجود دارد که $ k \leq 2000 $ و
$${1+ \binom{n}{2}+ \binom{n}{2}+ \binom{n}{3}= 2^{k}}$$
اما
$${1+ \binom{n}{2}+ \binom{n}{2}+ \binom{n}{3}= \frac{(n+1)( n^{2}-n+6)}{6} }$$
پس
$${(n+1)( n^{2}-n+6)=3 \times 2^{k+1} }$$
فرض کنید $ m=n+1 $. در این صورت $ m \geq 4 $ و
$${m( m^{2}-3m+8)=3 \times 2^{k+1} }$$
دو حالت وجود دارد.
حالت ۱. عددی طبیعی مانند $ r $ وجود دارد که $ m= 2^{r} $. توجه کنید که چون $ m \geq 4 $، پس $ r \geq 2 $، عددی صحیح و نامنفی مانند $ t $ وجود دارد که
$${ 2^{2r}-3 \times 2^{r}+8=3 \times 2^{t}}$$
اگر $ r \geq 4 $، آنگاه باید
$${8 \equiv 3 \times 2^{t} (به\,پیمانه\, 16)}$$
بنابراین $ 2^{t}=8 $. در نتیجه $ m^{2}-3m+8=24 $، که در مجموعهی عددهای طبیعی جواب ندارد. بنابراین یا $ r=2 $ یا $ r=3 $. در نتیجه یا $ n=3 $ یا $ n=7 $. به سادگی میتوان تحقیق کرد که اگر $ n=3 $ یا $ n=7 $، عدد طبیعی $ n $ ویژگی موردنظر را دارد.
حالت ۲. عددی طبیعی مانند $ s $ وجود دارد که $ m=3 \times 2^{s} $. بنابراین عددی طبیعی مانند $ u $ وجود دارد که
$${9 \times 2^{2s}-9 \times 2^{s}+8= 2^{u}}$$
به سادگی میتوان تحقیق کرد که $ s \neq 1,2 $. بنابراین $ s \geq 3 $. اگر $ s \geq 4 $، آنگاه
$${8 \equiv 2^{u} (به\,پیمانه\,16) }$$
بنابراین $ 2^{u}=8 $. در نتیجه $ m^{2}-3m=0 $، که ممکن نیست. پس $ s=3 $ و درنتیجه $ n=23 $. به سادگی میتوان تحقیق کردکه اگر $ n=23 $، عدد طبیعی $ n $ ویژگی موردنظر را دارد.
