نامساوی دکتر کرمزاده:
فرض کنید که $a$ و $b$ و $x$ سه عدد حقیقی مثبت باشند و $a<b$. در این صورت میگوییم $x$ بین $a$ و $b$ قرار دارد هرگاه $a \leq x \leq b$ و داریم:
$$a \leq x \leq b \Longleftrightarrow a+b \geq x+ \frac{ab}{x} $$
و تساوی برقرار است اگر و تنها اگر $x=a \vee x=b$.این هم ارزی نتیجه این است که معادلۀ درجه دوم:
$$x^2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b)=0$$
دو ریشه حقیقی دارد و علامت بین ریشهها مخالف ضریب $x^2$ یعنی منفی است.حالا توجه کنید که $a< \sqrt{ab} <b$ واز آنجا:
$$ \frac{a+b}{2} > \sqrt{ab} $$
حالا از این نامساوی می توان نامساوی حسابی-هندسی را ثابت کرد:
نامساوی قبلی نشان می دهد حکم برای دو عدد حقیقی مثبت درست است.حالا به کمک استقراء فرض می کنیم حکم برای $n-1$ عدد درست باشد و $x_1,x_2,...,x_n$ اعداد حقیقی مثبت باشند.اگر همۀ این اعداد برابر باشند چیزی برای اثبات نمیماند و واضح است.و اگر حداقل دوتای آنها برابر نباشند کوچکترین را $x_1$ و بزرگترین را $x_2$ بگیرید و از آنجا داریم:
$$x_1<G:= \sqrt[n]{x_1x_2...x_{n-1}x_n} <x_2$$
حالا بنا مقدمات داریم:
$$x_1+x_2>G+ \frac{x_1x_2}{G} \Rightarrow x_1+x_2+...+x_n>G+ \frac{x_1x_2}{G}+x_3+...+x_n$$
اما بنا به فرض استقراء داریم:
$$G+ \frac{x_1x_2}{G}+x_3+...+x_n \geq G+ (n-1)\sqrt[n-1]{ \frac{x_1x_2x_3...x_n}{G} }=G+(n-1)G=nG$$
$$ \Rightarrow A:= \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} >\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}=G $$
حالا اگر اثبات را یک بار دیگر مرور کنیم این نتیجه به دست می آید که برای اعداد غیر منفی $x_1,x_2,...,x_n$ داریم $A \geq G$ و تساوی برقرار است اگر و تنها اگر $x_1=x_2=...=x_n$.
از مقدمات نتایج و نامساویهای زیادی نتیجه می شود.مثلن اگر $x= \sqrt[n+m]{a^nb^m} ,n,m \in N$ آنگاه داریم:
$$a+b \geq \sqrt[n+m]{a^nb^m}+\sqrt[n+m]{a^mb^n}$$
یا مثلن اگر $0<a \leq x<y \leq b$ با توجه به اینکه:
$$ \int_x^y(t+ \frac{ab}{t} )dt \leq \int_x^y(a+b)$$
آنگاه داریم:
$$a+b \geq \frac{x+y}{2} + ab\frac{Lny-Lnx}{y-x}$$
$ \Box$
دکتر کرم زاده آثار ارزشمند و سرگذشت و سخنرانیهای جالبی دارد.جهت کسب اطلاعات بیشتر به کتابهای (نتایج باورنکردنی در ریاضیات) و (اثبات های فراموش نشدنی در ریاضیات؛ تکملۀ کتاب نتایج باورنکردنی در ریاضیات) تالیف و گردآوری و تدوین دکتر احسان ممتحن از انتشارات دانشگاه شهید چمران اهواز مراجعه کنید یا در تور تنیده جهانی کارهای ایشان را دنبال کنید.
