در حوالی سالهای 1735 لئونار اویلر ($Leohnard Euler$) در حالی که سی بهار از عمر گرانمایهاش را سپری نکرده بود مسأله بازل را حل کرد.یعنی یافتن سری
$$ \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} +...= \frac{ \pi ^2}{6} $$
در کنار این مسأله اویلر نشان داد که اگر $ \zeta (n):= \frac{1}{1^n} + \frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^n} +...,n \in N$ آنگاه:
$$ \zeta (2n)=B_{2n} \frac{(-1)^{n+1}(2 \pi )^{2n}}{2(2n)!} $$
که در اینجا $B_{2n}$ اعداد برنولی یا ضریب های بسط ملکلورن تابع $f(x):= \frac{x}{e^x-1} $ است.در واقع اویلر اول تابع زتا را برای اعداد مختط با قسمت موهومی بیشتر از واحد به صورت زیر تعریف کرد که همگراست(؟):
$$ \zeta (s):=\sum_{n=1}^ \infty \frac{1}{n^s} ,Re(s)>1$$
و به کمک تابع گاما:
$$ \Gamma (s):= \int_0^ \infty e^{s-1}e^{-t}dt = \lim_{n\to \infty } \frac{n^s}{s(s+1)...(s+n)}= \frac{e^{- \gamma s}}{s} \prod_{k=1}^ \infty \frac{e^ \frac{s}{k} }{1+ \frac{s}{k} } $$
(اولی از سمت راست مال وایرشتراس ($Wieerstrass$) است و $ \gamma := \lim_{n\to \infty } ( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +...+ \frac{1}{n} -Lnn)$ ثابت اویلر). و رابطۀ
$$ \Gamma (s) \zeta (s)= \int _0^ \infty \frac{t^{s-1}}{e^t-1} dt$$
$$, \Gamma (s) \Gamma (1-s)= \frac{ \pi }{sin( \pi s)} \vee sin( \pi s)= \pi s \prod _{k=1}^ \infty (1- \frac{s^2}{k^2} )$$
و تعمیم خواص چندجملهایها به سریهای هندسی به نتایج بالا رسید.
اویلر فرمولی بازگشتی یا مستقل برای تعمیم مسأله بازل برای توانهای فرد ارائه نداد (تا حالا کسی دیگر هم ارائه نداده) اما سالها درگیر تابع جالب زتا شد و توانست دامنه را برای اعداد صحیح غیر مثبت به صورت زیر تعمیم دهد:
$$ \zeta(-n):=- \frac{B_{n+1}}{n+1} ,n \in W $$
و با تعریف تابع اتا به صورت:
$$ \eta (s):= \sum_{n=1}^ \infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s} $$
و بکار بستن آزمون لایبنیتس و آبل برای همگرایی این سری برای اعداد مختلط با قسمت حقیقی مثبت و این تساوی که:
$$(1- \frac{2}{2^s} ) \zeta (s)= \eta (s)$$
تابع زتا را چنین گسترش داد:
$$ \zeta (s):= \frac{ \eta (s)}{1-2^{1-s}} ,0<Re(s),s \neq 1$$
توجه شود که این تعرف با تعریف مربوط به $Re(s)>1$ سازگار است.
حدود یک و نیم قرن می گذرد تا حوالی 1850 برنهات ریمان ($Bernhard Rieman$) که از شاگردان وارسته گاوس بود به سراغ تابع زتا می رود ودر تز دکتری اش حدسی را مطرح می کند که هنوز هم هیچ نبوغی و هیچ کشته و مرده پولی از پسش برنیامده.گرچه راهی است که دستاوردهای زیادی شاید بهتر از حل حدس داشته.
اویلر با بکاربردن یک نوع تبدیل انتگرالی که بعدها روش کار هالمار ملین ($Hjalmar Mellin$) ریاضیدان فنلاندی شد توانست به کمک تبدیل ملین:
$$M(f)(s):= \int _0^ \infty x^{s-1}f(x)dx$$
و خواص این تبدیل و تبدیل ملین توابع خاص همچون تابع جزء اعشار، تابع نمایی و سینوس به این نتیجه برسد که:
$$ \zeta (s)= \pi ^{s-1}2^ssin(\frac{ \pi }{2}s)\zeta (1-s) \Gamma (1-s)$$
و به این صورت بود که به ذهنش رسید همین رابطه را برای تعریف به مکان $Re(s) \leq 0$ بکار بندد یعنی:
$$ \zeta (s):= \pi ^{s-1}2^ssin( \frac{ \pi }{2} s)\Gamma (1-s) \zeta (1-s),Re(s) \leq 0,s \neq 0$$
پس تابع زتا برای صفحه مختلط بجز $s=1$ ( که قطب تابع است) تعریف شده است.این تعریف با تعریف اویلر برای اعداد صحیح منفی سازگار است.(بررسی کنید).
حالا اگر توجه کنیم برای هر عدد طبیعی مانند $n$ داریم:
$$ \zeta (-2n)=0$$
به این اعداد صفرها (ریشههای) بدیهی تابع زتا می گویند.
ریمان روی صفرهای دیگر کار کرد و این سوال را مطرح کردند که آیا این تابع صفرهای غیر بدیهی هم دارد؟ایشان نشان داد که بله صفرهای غیر بدیهی هم دارد.در سال $1914$ هاردی نشان داد که تابع زتا بینهایت صفر غیر بدیهی دارد.
حدس ریمان:هر صفر غیر بدیهی تابع زتا به صورت $z= \frac{1}{2} +ti$ است.به عبارت دیگر هر صفر غیر بدیهی تابع زتا دارای قسمت حقیقی $ \frac{1}{2} $ است یا روی خط $x= \frac{1}{2} $ قرار دارد.
معمولن خط $x= \frac{1}{2} $ را خط بحرانی و $0<Re(s)<1$ را نوار بحرانی تابع زتا مینامند.اگر تعریف را خوب دقت کنیم محاسبه مقادیر $s$ با قسمت حقیقی منفی به محاسبه $1-s$ با قسمت حقیقی بیشتر از یک منجر می شود و این به نوعی تقارن را می رساند:
$$s=1-s \rightarrow 2s=1 \rightarrow s= \frac{1}{2} $$
واگر در معادله قرار دهیم $s= \frac{1}{2} $ آنگاه به این نتیجه می رسیم که $ \zeta ( \frac{1}{2} )=1. \zeta ( \frac{1}{2} )$.
و شاید در اینجاست ( شاید من در اینجا سطحی مثل کسانی که فکر می کنند با افتادن یک سیب نیوتون جاذبه را کشف کرد، فکر میکنم) که حدس ریمان جوانه می زند.
اگر با نرم افزارهای پیشرفته مثل (Maple) نمودار را رسم کنید وجود صفرهای غیر بدیهی روی خط $x= \frac{1}{2} $ مشاهده می شوند.تعدادی خیلی زیاد از این صفرها هم ارائه شده.این نشان می دهد که ذهن ریمان سرشار از شهودی تخیلی عجیب و بی انتهایی بوده.
خلاصه کردن تابع زتا به شیوه من در این بلاگ که تعریفش این همه سال طول کشیده به نظر بی حرمتی به ریاضیات میاد.ببخشید هدف من صرفن معرفی این تابع بود.
زمانی دیوید هیلبرت در ستایش ژرژ کانتور برای موضوع نظریۀ مجموعهها گفته بود: هیچ کس نمی تواند ما را از بهشتی که کانتور برایمان آفریده است بیرون کند.من می گم اگر خلق ریاضیات و یا به قول افلاطونگراها کشف ریاضیات آفریدن بهشت باشد باید گفت اویلر ریمان و گوس آفریدگاران خوب اند و آفریده ایشان شاید از جاهای اعلای بهشت باشد.
$ \Box $
