دنبالۀ هارمونیک در واقع چنین تعریف میشود:
$$H_n:= \sum _{k=1}^n \frac{1}{k} =1+ \frac{1}{2} +...+ \frac{1}{n} $$
واضح است که این دنباله صعودی است و لذا حد دارد.(یک عدد حقیقی یا واگرا به $+ \infty $ ).اولین کسی که نشان داد حاصل سری هارمونیک بینهایت است نیکول اورسم $( (1325-1382)Nicole Oresme)$ ریاضیدان فرانسوی بود.ایشان اثبات را در حوالی سالهای $1350$ ارائه داد.در واقع ایشان نشان داد که:
$$H_{2^n}>1+ \frac{n}{2} ,n \in N$$
یا به صورت کلیتر برای هرعدد طبیعی $m$ میتوان نشان داد که:
$$H_{m^n}>1+(\frac{m-1}{m})n ,n \in N$$
و با این کار نشان داد که دنبالۀ هارمونیک بینهایت زیر دنبالۀ بیکران دارد.لذا خود دنباله به مثبت بینهایت واگراست.
از آن زمان تا حالا اثباتهای زیادی ارائه شده از جمله:
1) $Honsberger (1976)$:
ایشان در واقع نشان داد که:
$$H_{10^n-1}> \frac{9n}{10} ,n \in N$$
2) اثباتی است مربوط به $Pietro Mengoli$ در قرن $17$:
اولن برای هر عدد طبیعی بزرگتر از یک داریم:
$$ \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n+1} > \frac{2}{n} $$
حالا بنابه برهان خلف اگر $ \lim_{n\to \infty } H_n=s \in R$ آنگاه:
$$s=1+( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} )+( \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} )+( \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{10} +...$$
$$>1+ \frac{3}{3} + \frac{3}{6} + \frac{3}{9} +...=1+s$$
$$ \Rightarrow s=0 \bot $$
البته منگولی با بکاربردن نامساوی هارمونیک_حسابی نشان داد که:
$$ \frac{1}{k} + \frac{1}{k+1} +...+ \frac{1}{k+m} > \frac{2m+2}{m+2k} $$
و از آنجا نشان داد که:
$$H_{ \frac{3^n-1}{2} } \geq n$$
3) به کمک تابع توانی:
$$if:x>1 \Rightarrow e^x>1+x \Rightarrow e^{H_n}=e^1.e^ \frac{1}{2} .e^ \frac{1}{3} ...e^ \frac{1}{n}$$
$$> (1+ \frac{1}{1} )(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{3}) ... (1+\frac{1}{n})=n+1$$
$$ \Rightarrow Ln(n+1)<H_n$$
وچون تابع لگاریتم بیکران است دنباله هارمونیک نیز بیکران است.
4) باز هم برهان خلف:
$$s=(1+ \frac{1}{2} )+( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} )+( \frac{1}{5} + \frac{1}{6} )+...>( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} )+( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} )+( \frac{1}{6} + \frac{1}{6}) +....=s \bot $$
5) $Cusumano (1998)$
باز هم برهان خلف:
$$s=(1+ \frac{1}{2} )+( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} )+( \frac{1}{5} + \frac{1}{6} )+...$$
$$=(1+ \frac{1}{2} )+( \frac{1}{2} + \frac{1}{12} )+( \frac{1}{3} + \frac{1}{30} )+( \frac{1}{4} + \frac{a}{56} )+...$$
$$=s+( \frac{1}{2} + \frac{1}{12} + \frac{1}{30} + \frac{1}{56} +...) \bot $$
6) $Cohen and Knight (1979)$
برهان خلف:
$$s=(1+ \frac{1}{3} + \frac{1}{5} +...)+( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} +...)$$
$$>( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} +...)+( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} +...)= \frac{s}{2} + \frac{s}{2} =s \bot $$
7) $Jacob Bernoulli in his 1689$
اگر $n>1$ عددی طبیعی باشد داریم:
$$ \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} +...+ \frac{1}{n^2} >(n^2-n). \frac{1}{n^2} =1- \frac{1}{n} $$
$$ \Rightarrow \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} +...+ \frac{1}{n^2}>1$$
$$ 1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} ...=1+(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} )+\frac{1}{5} + \frac{1}{6} +...+ \frac{1}{25} +....>1+1+1+...$$
8) اگر $n>1$ عددی طبیعی باشد داریم:
$$ \frac{1}{(k-1)!+1} + \frac{1}{(k-1)!+2} +...+ \frac{1}{k!} > \frac{k!-(k-1)!}{k!} =1- \frac{1}{k} $$
$$ \Rightarrow H_{n!}=1+ \sum_{k=2}^n \frac{1}{(k-1)!+1} + \frac{1}{(k-1)!+2} +...+ \frac{1}{k!}$$
$$>1+ \sum _{k=2}^n(1- \frac{1}{k} )=1+n-H_n$$
$$ \Rightarrow 2H_{n!}>H_{n!}+H_n>n+1$$
و از آنجا سری هارمونیک دارای زیردنباله ای بیکران است.لذا به مثبت بینهایت واگراست.
9) می دانیم که اگر $ (a_n)_{n=1}^ \infty $ دنبالهای نزولی مثبت که سری مربوط به آن هم همگرا باشد آنگاه
$$ \lim_{n\to \infty } na_n=0$$
اما برای سری هارمونیک شرایط قضیه تا همگرایی سری برقرار است اما:
$$ \lim_{n\to \infty } n. \frac{1}{n} =1$$
پس دنباله هارمونیک واگرا به مثبت بینهایت است.
نکته جالب در مطالعه این دنباله رشد کند آن است.
اثباتهای زیادی در تور تنیده جهانی وجود دارد که برای هر کسی قابل دسترسی است.دنباله هارمونیک در واقع تابعی با دامنه اعداد طبیعی است.آیا می توان دامنه این تابع را توسیع داد؟بله تابع هارمونیک به صورت زیر برای هر عدد مختلط بجز اعداد صحیح منفی تعریف می شود:
$$H(z):= \sum_{n=1}^ \infty ( \frac{1}{n} - \frac{1}{z+n} ) = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^ n ( \frac{1}{k} - \frac{1}{z+k} )$$
اگر $n$ عددی طبیعی باشد داریم:
$$H(n)=H_n$$
همگرایی این سری به سادگی قابل اثبات است.این تابع در دامنه خود تحلیلی و نقاط صحیح منفی مجانبهای آن هستند و اگر $ \Gamma$ تابع گاما باشد کوشش و نبوغ وایرشتراس نشان داد که:
$$ \frac{d}{dz} Log \Gamma(z)= \frac{ \Gamma'(z)}{ \Gamma(z)} =- \gamma- \frac{1}{z} +H(z)$$
که $ \gamma$ ثابت اویلر است.
$ \Box $
