ما میتوانیم هر تعداد متناهی اعداد حقیقی یا هر تعداد متناهی عضو یک ساختمان آبلی (جابجایی) ریاضی مثل گروه را به هر جایگشت دلخواه آنها جمع کنیم مثلن:
$$1+(-3)+2.5=(1+(-3))+2.5=(2.5+1)+(-3)=...$$
$$abc=(ab)c=c(ba)=...$$
آیا این کار برای تعدادی نامتناهی جمعوند هم صحیح است؟در وحله اول جواب مثبت به نظر میاد اما اگر مثل ریمان، کوشی، گوس، چزارو و...فکر کنید جواب منفی است.برای این منظور باید به سراغ سریهای نامتناهی و خواص آنها برویم:
اگر $ \sum_{n=1}^ \infty x_n$ سری حاصل از دنبالۀ از اعداد حقیقی $(x_n)$ باشد، میگوییم سری به عدد حقیقی $x$ همگراست هرگاه دنبالۀ $s_n=x_1+x_2+...+x_n= \sum_{k=1}^nx_k$ که دنبالۀ مجموعات جزئی نام دارد به $x$ همگرا باشد و می گوییم سری به بینهایت (مثبت و منفی) واگراست هرگاه همین دنباله به بینهایت واگرا باشد.در این صورت به ترتیب مینویسیم:
$$ \sum_{n=1}^ \infty x_n=x,\sum_{n=1}^ \infty x_n= \infty $$
سری را همگرای مطلق میگوئیم (مطلقن همگرا می گوئیم) هرگاه سری $ \sum_{n=1}^ \infty |x_n|$ همگرا باشد.با کمی کوشش ( واضح نیست) متوجه میشویم که اگر یک سری همگرای مطلق باشد حتمن همگراست.اما عکس این گزاره درست نیست زیرا مثلن سری $\sum_{n=1}^ \infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} $ همگراست اما سری $\sum_{n=1}^ \infty |\frac{(-1)^{n-1}}{n}|$ که همان سری مشهور هارمونیک است همگرا نیست.حالا میگوییم یک سری همگرای مشروط است هرگاه خود سری همگرا باشد اما مطلقن همگرا نباشد.
اگر برای هر عدد حقیقی $x$ تعریف کنیم:
$ x^+:=max$ {$0,x$} , $x^-:=$ $max$ {$0,-x$}
آنگاه داریم:
$$0 \leq x^- \leq |x|,0 \leq x^+ \leq |x|,x=x^+-x^-,|x|=x^++x^-$$
بنابراین به راحتی و به کمک خواص سریها ( آزمون مقایسه) می توان نتیجه گرفت که سری $\sum_{n=1}^ \infty |x_n|$ همگراست اگر و تنها اگر سریهای $\sum_{n=1}^ \infty x^-$ و $\sum_{n=1}^ \infty x^-$ همگرا باشند.و اگر یکی از دو سری اخیر همگرا و دیگری واگرا به مثبت بینهایت باشد آنگاه سری اصلی به بینهایت ( ممکنه مثبت یا منفی) واگراست.
تجدید آرایش:
اگر $f:N \longrightarrow N$ یک تابع دوسویی ( یک بیک و پوشا) یا یک (جایگشت) باشد و $y_n=x_{f(n)}$ آنگاه سری $ \sum_{n=1}^\infty y_n$ را یک تجدیدآرایش ( بازآرایش) برای سری اصلی می نامند.در واقع این مفهوم همان مفهوم جمعونها برای تعدادی نامتناهی است که در مقدمه گفتیم برای تعدادی متناهی به هر شیوه جمع شوند مهم نیست و در نهایت جواب یکی است.حالا این سوال مطرح است که آیا هر باز آرایش یک سری همگرا به مقدار $x$ باز هم همگرا به همان مقدار $x$ است؟ در کمال ناباوری و تعجب جواب منفی است.سری $ \sum _{n=1}^ \infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} $ همگراست است.اگر سری را به صورت :
$$1+ \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{11} - \frac{1}{6} +...$$
بازآرایش کنیم و $s_n$ و $t_n$ به ترتیب مجموعهای جزئی سری اصلی و بازآرایش آن باشند با بررسی $t_{3n}$ و $t_{3n+1}$ و $t_{3n+2}$ همگرایی $t_n$ نتیجه و از تساوی $t_{3n}=s_{4n}+ \frac{1}{2} s_{2n}$ اختلاف مقدار همگراییها آشکار میشود.
حالا سوال این است چه وقت این تساوی اتفاق می افتد؟اگر یک سری مطلقن همگرا باشد آنگاه هر باز_آرایش آن نیز مطلقن همگراست ( لذا همگراست) و مقدار همگرایی با مقدار همگرایی سری اصلی یکی است.
اثبات: فرض کنید سری $ \sum_{n=1}^ \infty x_n$ مطلقن همگرا باشد و $\sum_{n=1}^ \infty x_n=x$ و $\sum_{n=1}^ \infty y_n$ باز آرایشی دلخواه از آن باشد و $s_n$ و $t_n$ به ترتیب مجموعهای جزئی سریهای اصلی و باز_آرایش باشند.توجه داریم که:
$$ \forall د \in N:t_n=|y_1|+|y_2|+...|y_n| \leq \sum _{n=1}^ \infty |x_n|< \infty $$
این یعنی مجموعهای جزئی کراندار و چون جملات سری غیر منفیاند همگرایی مطلق و همگرایی سری مد نظر نتیجه میشود.حالا توجه کنید که از همگرایی به صفر دنباله (باقیمانده) $R_n= \sum_{k=n+1}^ \infty |x_n|$ برای هر $ \varepsilon $ مثبت داده شده می توان عدد طبیعی $m$ را طوری انتخاب کرد که:
$$R_m< \varepsilon ,|s_m-s|< \varepsilon $$
از طرفی دیگر داریم:
$$|t_n-s| \leq |t_n-s_m|+|s_m-s|<|t_n-s_m|+ \varepsilon $$
حالا اگر عدد طبیعی $N$ را طوری انتخاب کنیم که {$f(1),f(2),...,f(N)$} $\subseteq$ {$1,2,...,m$} آنگاه برای هر عدد طبیعی بزرگتر یا مساوی $N$ مانند $n$ داریم:
$$|t_n-s_m|=|y_1+y_2+...+y_n-(x_1+x_2+...+x_m)|$$
$$=|x_{f(1)}+x_{f(2)}+...+x_{f(n)}-(x_1+x_2+...+x_m)|$$
$$ \leq |x_{m+1}|+|x_{m+2}|+....=R_m< \varepsilon $$
و به این ترتیب اثبات کامل میشود.
این قضیه و مثال قبل نشان می دهد که همگرایی مطلق شرط اساسی است.
در آخر یکی از نتایج فوق العاده زیبای زیر را که نتیجه نبوغ و کوشش برنهارت ریمان است می آورم:
اگر سری $ \sum_{n=1}^ \infty x_n$ به طور مشروط همگرا باشد و $- \infty \leq x \leq y \leq + \infty $ آنگاه یک باز آرایش برای این سری مانند $\sum_{n=1}^ \infty y_n$ موجود است که:
$$ \underline{lim} t_n=x, \overline{lim} t_n=y$$
که در آن $t_n=\sum_{k=1}^n x_k=y_1+y_2+...+y_n$.
اثبات:میتوان صفرهای یک سری را نادیده گرفت (چرا؟) پس میتوان فرض کرد که در سری اصلی جملات غیر صفراند.حالا برای عدد طبیعی $n$ به ترتیب اولین جملۀ مثبت و منفی را با $p_n$ و $-q_n$ نام گذاری کنید.به آسانی میتوان نشان داد که $\sum_{n=1}^ \infty p_n$ و $\sum_{n=1}^ \infty q_n$ دو سری با جملات مثبت و واگرا به مثبت بینهایت اند.حالا دو دنباله دلخواه از اعداد حقیقی $(a_n)$ و $(b_n)$ را طوری در نظر بگیرید که:
$$a_n \rightarrow x,b_n \rightarrow y,a_n<b_n,0<b_1$$
این کار امکان پذیر است(چرا؟).حالا اعداد طبیعی $k_1$ و $r_1$ را کوچکترین اعدادی طبیعی طوری انتخاب کنید که:
$$p_1+p_2+...+p_{k_1}>b_1,p_1+p_2+...+p_{k_1}-q_1-q_2-...-q_{r_1}<a_1$$
این کار امکان پذیر است(چرا؟).حالا فرض کنید که $k_2$ و $r_2$ کوچکترین اعداد طبیعی باشند که:
$$p_1+p_2+...+p_{k_1}-q_1-q_2-...-q_{r_1}+p_{k_1+1}+...+p_{k_2}>b_2$$
$$,p_1+p_2+...+p_{k_1}-q_1-q_2-...-q_{r_1}+p_{k_1+1}+...+p_{k_2}-q_{r_1}-...-q_{r_2}<a_2$$
با ادامه این فرایند ممکن (؟) یک بازآرایش برای سری اولیه به دست می آید که اگر آن را $ \sum _{n=1}^\infty y_n$ بنامیم و مجموعهای جزئی این بازآرایش را که آخرین جمعوندشان $p_{k_n}$ و $-q_{r_n}$ است را به ترتیب با نماد $u_n$ و $v_n$ نشان دهیم داریم:
$$|u_n-b_n| \leq p_{k_n},|v_n-a_n| \leq q_{r_n}$$
و چون $p_{k_n \longrightarrow 0}$ و $q_{r_n} \longrightarrow 0$ پس باید $n_n \longrightarrow 0$ و $v_n \longrightarrow 0$.
می توان نشان داد که هیج عددی کمتر از $x$ و هیچ عددی بزرگتر از $y$ نمی تواند حد زیر دنباله ای از $t_n$ باشد(چطور؟).و این اثبات را کامل میکند.
حالا اگر $x=y \in R$ آنگاه میتوان بازآرایشی ارائه داد که به $x$ همگرا باشد و اگر $x= \infty $ می توان بازآرایشی ارائه داد که به $ \infty $ واگرا باشد.(چه مثبت چه منفی)
$ \Box $
یادمه چند سال پیش در یک مصاحبه تلوزیونی با دکتر مهدی بهزاد ایشان یک جدول سودکو (مربع جادیویی) از یک ریاضیدان گمنام هندی ارائه داد که مجموع سطرها و ستونها و قطرهای آن $2000$ میشد.سال جهانی ریاضیات. و در آخر از عظمت نبوغ ریمان که گویا برخورد با این قضیه برای اولین بار در دوران تحصیلشان ایشان را به وجد آورده.به راستی من میگم ریاضیات قبل از اینکه مادر علوم باشد اوج هنر و زیبایی است.تمام ریاضیات حتی جمع ساده اعداد حقیقی آن وقتی که به کمک قضیه بازگشت و مجموعههای تالی و پذیرههای پئانو تعریف میشود در منظر زیباییشناسی به فاصلهای نجومی بالاتر از تابلوهای مودلیانی،ونگوگ، اشر و ...یا قطعات غزلواره های سوفکولس، دانته، اوید شکسپیر، جفری جاسر، پوشکین، گوته، احمد خانی، متنبی و...و نغمههای داوود،ام کلثوم،ادیت پیاف، علیمردان، ابوالحسن خان اقبال آذر و... قرار دارد.
