منظور از ضرب دو سری چیست؟
اگر دو سری دلخواه
$$ \sum_{n=0}^ \infty a_n,\sum_{n=0}^ \infty b_n$$
را داشته باشیم روشهای متفاوتی برای ضرب آنها وجود دارد.اگر جمله عمومی دنبالۀ سری حاصلضرب را $c_n$ بنامیم آنگاه به عنوان مثال می توان نوشت:
$$c_n=\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}$$
این ضرب را ضرب قطری (ضرب کوشی) دو سری مینامند.
یا مثلن می توان نوشت:
$$c_0=a_0b_0,c_n=(a_1+a_2+...+a_n)(b_1+b_2+...+b_n)-c_{n-1},n \in N$$
این نوع ضرب را ضرب مربعی مینامند.
در حالت کلی اگر
$f:W \longrightarrow W^2(=W \times W),f(n)=( \alpha _n, \beta _n)$
تابعی یک بیک و پوشا باشد (از این تابعها به اندازۀ کافی وجود دارند)(چرا؟) آنگاه سری با جمله عمومی $c_n=a_{ \alpha_n}.b_{ \beta_n}$ را یک حاصلضرب $\sum_{n=0}^ \infty a_n$ در $\sum_{n=0}^ \infty b_n$ مینامند.
(در ضرب قطری و مربعی به مفهوم درج پرانتزها در یک سری توجه کنید.)
کوشش و نبوغ بزرگانی چون آبل، کوشی، مرتنس و...نشان داده اند که:
1).اگر $\sum _{n=0}^ \infty a_n$ و $\sum _{n=0}^ \infty b_n$ مطلقن همگرا باشند و مقدار همگرایی آنها به ترتیب $A$ و $B$ باشد آنگاه هر حاصلضرب آنها نیز مطلق همگراست و مقدار سری برابر است با $AB$.این گزاره برای همگرایی درست نیست.سری $\sum _{n=1}^ \infty \frac{(-1)^n}{ \sqrt{n} } $ همگراست اما ضرب کوشی این سری در خودش همگرا نیست.(چرا؟)
2).(آبل) اگر حاصلضرب کوشی دو سری همگرا به $A$ و $B$ ، همگرا باشد و مقدار این همگرایی $C$ باشد آنگاه $C=AB$.
3).(مرتنس) اگر یکی از دو سری داده شده مطلقن همگرا و مقدار آن $A$ باشد و دیگری همگرا به $B$ باشد آنگاه ضرب کوشی آنها همگراست.اگر این مقدار همگرایی $C$ باشد بنا به قضیۀ آبل باید: $C=AB$.
4). میدانیم که سری $\sum _{n=0}^ \infty \frac{z^n}{n!} $ به ازای هر عدد مختلط همگرای مطلق است (از کجا؟) اگر مقدار آن را $f(z)$ بنامییم لذا برای هردو عدد مختلط $z_1$ و $z_2$ و ضرب کوشی دو سری داریم:
$$c_n= \sum_{k=0}^n \frac{z_1^k}{k!} \frac{z_2^{n-k}}{(n-k)!}= \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^n \frac{n!z_1^k}{k!} \frac{z_2^{n-k}}{(n-k)!}= \frac{1}{n!} \sum_{k=1}^n \binom{n}{k}z_1^kz_2^{n-k}= \frac{(z_1+z_2)^n}{n!} $$
$$ \Rightarrow f(z_1).f(z_2)=(\sum _{n=0}^ \infty \frac{z_1^n}{n!}).(\sum _{n=0}^ \infty \frac{z_2^n}{n!})=\sum _{n=0}^ \infty \frac{(z_1+z_2)^n}{n!}=f(z_1+z_2)$$
نشان داده شده است که $f(z)=e^z$.
$ \Box $
